Determine cada limite indicando qual propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 3}\left(5 x^{2}-7 x-3\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dado o polinômio \,5x^{2}-7x-3\,.
  • Pede-se o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to 3}\left(5x^{2}-7x-3\right).

Passo 2

Lembrete das propriedades de limites que vamos usar (cada fórmula é válida quando os limites individuais existem):
\lim_{x\to a} c = c
onde c é constante; isto significa que o limite de uma constante é a própria constante.
\lim_{x\to a} x = a
ou seja, quando a variável tende a a, a função identidade tende a a.
Regra do múltiplo constante:
\lim_{x\to a} \big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x),
onde c é constante e f é uma função cujo limite existe.
Regra da soma (ou diferença):
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} g(x),
quando os limites à direita existem.
Regra da potência (para inteiros positivos):
\lim_{x\to a} \big(f(x)\big)^{n} = \Big(\lim_{x\to a} f(x)\Big)^{n},
quando o limite de f existe e n é inteiro positivo.
Observação intuitiva (útil na prova): polinômios são formados por somas e produtos de x por constantes e potências de x. Usando as propriedades acima, os limites de polinômios em pontos finitos são obtidos substituindo x=a (ou seja, polinômios são contínuos em todo ponto).

Passo 3

Vamos decompor a função em três partes e calcular os limites de cada uma separadamente:
f(x)=5x^{2},\qquad g(x)=-7x,\qquad h(x)=-3.
Calcular \displaystyle \lim_{x\to 3}5x^{2}:
\lim_{x\to 3}5x^{2}=5\cdot\lim_{x\to 3}x^{2} =5\cdot\big(\lim_{x\to 3}x\big)^{2} =5\cdot 3^{2} =5\cdot 9 =45.
Expliquei cada passo: usei a regra do múltiplo constante (puxei o 5 para fora do limite) e a regra da potência (o limite de x^{2} é (\lim x)^{2}).
Calcular \displaystyle \lim_{x\to 3}(-7x):
\lim_{x\to 3}(-7x) = -7\cdot\lim_{x\to 3}x = -7\cdot 3 = -21.
Aqui usei a regra do múltiplo constante novamente.
Calcular \displaystyle \lim_{x\to 3}(-3):
\lim_{x\to 3}(-3) = -3,
pois o limite de uma constante é a própria constante.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da soma/diferença de limites:
\lim_{x\to 3}\big(5x^{2}-7x-3\big) =\lim_{x\to 3}5x^{2}+\lim_{x\to 3}(-7x)+\lim_{x\to 3}(-3).
Substituindo os valores que calculamos:
=45+(-21)+(-3)=45-21-3.
Fazendo a aritmética:
45-21=24,\qquad 24-3=21.
Portanto o limite vale 21.

Resposta

21

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