Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+\frac{5}{x}\right),

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{x\to 0}\left(x+\frac{5}{x}\right).
Informações dadas: a expressão é definida para todo x\neq 0. O ponto onde se está calculando o limite é x=0, onde a função não está definida (divisão por zero). Precisamos então analisar o comportamento da expressão quando x se aproxima de 0 pela direita ( x\to0^+) e pela esquerda ( x\to0^-) e, a partir disso, concluir sobre o limite bilateral.

Passo 2

Porque a função não está definida em x=0, ao calcular o limite em 0 é obrigatório olhar os limites laterais:
\lim_{x\to0^+}\left(x+\frac{5}{x}\right) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^-}\left(x+\frac{5}{x}\right).
Se esses dois limites laterais existirem e forem iguais (podendo ser um número finito ou ambos +\infty), então o limite bilateral existe e é esse valor. Se forem diferentes (por exemplo +\infty de um lado e -\infty do outro, ou dois números distintos), o limite bilateral não existe.

Passo 3

Reescrevemos a expressão para facilitar a análise:
x+\frac{5}{x}=\frac{x^2+5}{x}.
Explicação: para somar x e \dfrac{5}{x} colocamos no mesmo denominador x: x=\dfrac{x^2}{x}, então \dfrac{x^2}{x}+\dfrac{5}{x}=\dfrac{x^2+5}{x}. Isso é válido para x\neq 0.

Passo 4

Análise do numerador e do denominador quando x\to 0:
  • O numerador x^2+5 tende a 5 quando x\to0. Em particular, para x suficientemente próximo de 0, x^2+5 é positivo e está próximo de 5.
  • O sinal do quociente \dfrac{x^2+5}{x} é, portanto, o mesmo do sinal de x (porque o numerador é positivo próximo de 0).

Passo 5

Cálculo do limite pela direita:
Para x\to0^+ temos x>0 pequeno, logo o numerador \,x^2+5\to5>0 e o denominador x é um número positivo muito pequeno. Um número positivo fixo dividido por um número positivo que vai a 0 tende a +\infty. Portanto
\lim_{x\to0^+}\left(x+\frac{5}{x}\right)=+\infty.

Passo 6

Cálculo do limite pela esquerda:
Para x\to0^- temos x<0 (pequeno em valor absoluto), o numerador ainda tende a 5>0 enquanto o denominador é negativo e de módulo pequeno. Um número positivo dividido por um número negativo que tende a 0 dá um valor com sinal negativo cujo módulo cresce sem limite, portanto
\lim_{x\to0^-}\left(x+\frac{5}{x}\right)=-\infty.

Passo 7

Conclusão final: os limites laterais são diferentes ( +\infty à direita e -\infty à esquerda), logo o limite bilateral não existe. Em termos intuitivos: o termo \dfrac{5}{x} domina perto de 0 e causa uma assimptota vertical com sinais opostos dos dois lados.

Resposta

O limite não existe; \lim_{x\to0^+}\left(x+\dfrac{5}{x}\right)=+\infty e \lim_{x\to0^-}\left(x+\dfrac{5}{x}\right)=-\infty.

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