Determine cada limite:
,
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
Informações dadas: a expressão é definida para todo
. O ponto onde se está calculando o limite é
, onde a função não está definida (divisão por zero). Precisamos então analisar o comportamento da expressão quando
se aproxima de
pela direita (
) e pela esquerda (
) e, a partir disso, concluir sobre o limite bilateral.
Passo 2
Porque a função não está definida em
, ao calcular o limite em
é obrigatório olhar os limites laterais:
Se esses dois limites laterais existirem e forem iguais (podendo ser um número finito ou ambos
), então o limite bilateral existe e é esse valor. Se forem diferentes (por exemplo
de um lado e
do outro, ou dois números distintos), o limite bilateral não existe.
Passo 3
Reescrevemos a expressão para facilitar a análise:
Explicação: para somar
e
colocamos no mesmo denominador
:
, então
. Isso é válido para
.
Passo 4
Análise do numerador e do denominador quando
:
- O numerador
tende a quando . Em particular, para suficientemente próximo de , é positivo e está próximo de . - O sinal do quociente
é, portanto, o mesmo do sinal de (porque o numerador é positivo próximo de ).
Passo 5
Cálculo do limite pela direita:
Para temos
pequeno, logo o numerador
e o denominador
é um número positivo muito pequeno. Um número positivo fixo dividido por um número positivo que vai a
tende a
. Portanto
Para
Passo 6
Cálculo do limite pela esquerda:
Para temos
(pequeno em valor absoluto), o numerador ainda tende a
enquanto o denominador é negativo e de módulo pequeno. Um número positivo dividido por um número negativo que tende a
dá um valor com sinal negativo cujo módulo cresce sem limite, portanto
Para
Passo 7
Conclusão final: os limites laterais são diferentes (
à direita e
à esquerda), logo o limite bilateral não existe. Em termos intuitivos: o termo
domina perto de
e causa uma assimptota vertical com sinais opostos dos dois lados.
Resposta
O limite não existe;
e
.