Determine cada limite:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede-se calcular o limite
, onde é um parâmetro (um número real qualquer). - A expressão é uma razão entre polinômios em
que depende do parâmetro . - Informação importante a notar (sem resolver ainda): o denominador avaliado em
é . Portanto, quando ou o denominador se anula em e pode haver indeterminação; para outros a substituição direta é possível.
Passo 2
Regra útil e aplicação quando não há indeterminação: se uma função é uma razão de polinômios e o denominador em
é diferente de zero, então a função é contínua em
e o limite quando
é simplesmente o valor da função em
.
Aplicando essa ideia: suponha que
(ou seja,
e
). Então pode-se substituir
diretamente na expressão:
Portanto, para todo
tal que
e
, o limite vale
.
Passo 3
Agora tratamos os casos onde o denominador se anula em
, isto é
ou
. Antes de resolver cada caso, vamos usar uma identidade algébrica útil para manipular a expressão em geral:
Identidade (diferença de cubos):
Explicando por que isso é verdade: multiplicando os fatores do lado direito
ou seja, os termos intermediários se cancelam e sobra
. Essa fatoração é a que vai permitir simplificar quando houver um fator
também no denominador.
Passo 4
Caso
.
Substituindo
diretamente na expressão (ou usando a fatoração com
):
Agora o limite
. Logo, quando
o limite vale
.
Passo 5
Caso
.
Usando a fatoração da diferença de cubos com
:
Aqui aparece o fator comum
no numerador e no denominador, que podemos cancelar (para
):
Agora essa função é contínua em
, então substituímos
:
Portanto, quando
o limite vale
.
Passo 6
Resumo das conclusões por caso:
- Se
e , o denominador em é não nulo e o limite é obtido por substituição direta, dando . - Se
, após simplificação a expressão vira e o limite é . - Se
, após cancelar obtemos e o limite é .