Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{3}-a^{3}}{x^{2}-a}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{3}-a^{3}}{x^{2}-a}, onde a é um parâmetro (um número real qualquer).
  • A expressão é uma razão entre polinômios em x que depende do parâmetro a.
  • Informação importante a notar (sem resolver ainda): o denominador avaliado em x=a é \,a^{2}-a=a(a-1)\,. Portanto, quando a=0 ou a=1 o denominador se anula em x=a e pode haver indeterminação; para outros a a substituição direta é possível.

Passo 2

Regra útil e aplicação quando não há indeterminação: se uma função é uma razão de polinômios e o denominador em x=a é diferente de zero, então a função é contínua em x=a e o limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em x=a.
Aplicando essa ideia: suponha que a^{2}-a\neq0 (ou seja, a\neq0 e a\neq1). Então pode-se substituir x=a diretamente na expressão:
\lim_{x\to a}\frac{x^{3}-a^{3}}{x^{2}-a}=\frac{a^{3}-a^{3}}{a^{2}-a}=\frac{0}{a^{2}-a}=0.
Portanto, para todo a tal que a\neq0 e a\neq1, o limite vale 0.

Passo 3

Agora tratamos os casos onde o denominador se anula em x=a, isto é a=0 ou a=1. Antes de resolver cada caso, vamos usar uma identidade algébrica útil para manipular a expressão em geral:
Identidade (diferença de cubos):
x^{3}-a^{3}=(x-a)\bigl(x^{2}+ax+a^{2}\bigr).
Explicando por que isso é verdade: multiplicando os fatores do lado direito
(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})=x^{3}+ax^{2}+a^{2}x - ax^{2}-a^{2}x-a^{3}=x^{3}-a^{3},
ou seja, os termos intermediários se cancelam e sobra x^{3}-a^{3}. Essa fatoração é a que vai permitir simplificar quando houver um fator (x-a) também no denominador.

Passo 4

Caso a=0.
Substituindo a=0 diretamente na expressão (ou usando a fatoração com a=0):
\frac{x^{3}-0^{3}}{x^{2}-0}=\frac{x^{3}}{x^{2}}=x\quad(\text{para }x\neq0).
Agora o limite \displaystyle \lim_{x\to 0} x = 0. Logo, quando a=0 o limite vale 0.

Passo 5

Caso a=1.
Usando a fatoração da diferença de cubos com a=1:
\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)}\quad(\text{para }x\neq1).
Aqui aparece o fator comum (x-1) no numerador e no denominador, que podemos cancelar (para x\neq1):
\frac{x^{2}+x+1}{x+1}.
Agora essa função é contínua em x=1, então substituímos x=1:
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{1^{2}+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}.
Portanto, quando a=1 o limite vale \dfrac{3}{2}.

Passo 6

Resumo das conclusões por caso:
  • Se a\neq0 e a\neq1, o denominador em x=a é não nulo e o limite é obtido por substituição direta, dando 0.
  • Se a=0, após simplificação a expressão vira x e o limite é 0.
  • Se a=1, após cancelar (x-1) obtemos \dfrac{x^{2}+x+1}{x+1} e o limite é \dfrac{3}{2}.

Resposta

\lim_{x\to a}\frac{x^{3}-a^{3}}{x^{2}-a}= \begin{cases} 0, & a\neq1,\\[4pt] \dfrac{3}{2}, & a=1. \end{cases}]

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