Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{1 / x}+1}{2^{1 / x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}.
Informações dadas e o que é importante notar:
  • A expressão depende de 1/x, que tende a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to0^-.
  • Portanto é natural estudar os limites laterais \lim_{x\to0^+} e \lim_{x\to0^-}, porque o comportamento de 2^{1/x} muda dependendo do sinal de x.
    Vou calcular os dois limites laterais e comparar para ver se o limite bilateral existe.

Passo 2

Truque útil (mudança de variável): defina t=\dfrac{1}{x}. Então x\to0^+ corresponde a t\to+\infty e x\to0^- corresponde a t\to-\infty. A expressão fica, em termos de t,
\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=\frac{2^{t}+1}{2^{t}-1}.
Vou usar essa forma para calcular os limites quando t\to\pm\infty.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita ( x\to0^+, então t\to+\infty).
Para t\to+\infty temos 2^{t}\to+\infty porque 2>1. Uma manipulação padrão é dividir numerador e denominador por 2^{t}:
\frac{2^{t}+1}{2^{t}-1}=\frac{1+2^{-t}}{1-2^{-t}}.
Como t\to+\infty implica 2^{-t}\to 0, temos
\lim_{t\to+\infty}\frac{1+2^{-t}}{1-2^{-t}}=\frac{1+0}{1-0}=1.
Logo
\lim_{x\to0^+}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda ( x\to0^-, então t\to-\infty).
Quando t\to-\infty temos 2^{t}\to 0 (porque potências com expoente negativo grande tendem a zero). Assim, substituindo diretamente na expressão original em t,
\lim_{t\to-\infty}\frac{2^{t}+1}{2^{t}-1}=\frac{0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1.
Portanto
\lim_{x\to0^-}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=-1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais são diferentes ( 1 pela direita e -1 pela esquerda). Quando os limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe. Então
\lim_{x\to0}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}\\ \text{não existe}.ã

Resposta

\lim_{x\to0^+}\dfrac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=1
\lim_{x\to0^-}\dfrac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=-1
\lim_{x\to0}\dfrac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1} não existe

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