Determine cada limite:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e o que é importante notar:
- A expressão depende de
, que tende a quando e a quando . - Portanto é natural estudar os limites laterais
e , porque o comportamento de muda dependendo do sinal de .
Vou calcular os dois limites laterais e comparar para ver se o limite bilateral existe.
Passo 2
Truque útil (mudança de variável): defina
. Então
corresponde a
e
corresponde a
. A expressão fica, em termos de
,
Vou usar essa forma para calcular os limites quando
.
Passo 3
Cálculo do limite pela direita (
, então
).
Para
temos
porque
. Uma manipulação padrão é dividir numerador e denominador por
:
Como
implica
, temos
Logo
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda (
, então
).
Quando
temos
(porque potências com expoente negativo grande tendem a zero). Assim, substituindo diretamente na expressão original em
,
Portanto
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda). Quando os limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe. Então