Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
cresce sem bound:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A variável
tende para .
O que se quer: o valor da expressão quandofica muito grande (ou justificar que o limite não existe).
Passo 2
Ideia geral (intuitiva) — comparação de taxas de crescimento:
Polinômios têm “grau” que indica quão rápido crescem quando a variável vai para infinito. Aqui:
Polinômios têm “grau” que indica quão rápido crescem quando a variável vai para infinito. Aqui:
- o numerador é um polinômio de grau
(termo dominante ); - o denominador é um polinômio de grau
(termo dominante ).
Quando dividimos uma quantidade que cresce comopor outra que cresce como , o denominador cresce muito mais rápido, então a fração tende a zero. Vou tornar isso rigoroso com uma manipulação algébrica simples.
Passo 3
Manipulação algébrica útil: dividir numerador e denominador pelo maior expoente de
presente no denominador, que é
. Isso é permitido sempre que fazemos a mesma operação em cima do numerador e do denominador (e para
, o que não prejudica o limite para
). Fazendo isso:
Passo 4
Analisar os limites das partes que aparecem:
-
. Explicação rápida: conforme cresce, fica cada vez menor (por exemplo, ) e tende a ; multiplicando por apenas escala esse resultado. -
. Mesma ideia, cresce ainda mais rápido que , então o recíproco vai para .
Passo 5
Agora aplique as regras de limite para quociente (quando denom. tende a número diferente de zero): se o numerador tende a
e o denominador tende a
, o quociente tende a
. Aplicando às expressões obtidas:
Portanto o limite existe e é
.