Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{5 t}{t^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando t cresce sem bound:
\lim_{t\to\infty}\frac{5t}{t^{2}+1}.
Informações dadas:
  • Numerador: 5t.
  • Denominador: t^{2}+1.
  • A variável t tende para +\infty.
    O que se quer: o valor da expressão quando t fica muito grande (ou justificar que o limite não existe).

Passo 2

Ideia geral (intuitiva) — comparação de taxas de crescimento:
Polinômios têm “grau” que indica quão rápido crescem quando a variável vai para infinito. Aqui:
  • o numerador é um polinômio de grau 1 (termo dominante 5t);
  • o denominador é um polinômio de grau 2 (termo dominante t^{2}).
    Quando dividimos uma quantidade que cresce como t por outra que cresce como t^{2}, o denominador cresce muito mais rápido, então a fração tende a zero. Vou tornar isso rigoroso com uma manipulação algébrica simples.

Passo 3

Manipulação algébrica útil: dividir numerador e denominador pelo maior expoente de t presente no denominador, que é t^{2}. Isso é permitido sempre que fazemos a mesma operação em cima do numerador e do denominador (e para t\neq 0, o que não prejudica o limite para t\to\infty). Fazendo isso:
\frac{5t}{t^{2}+1}=\frac{\dfrac{5t}{t^{2}}}{\dfrac{t^{2}}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{2}}}=\frac{\dfrac{5}{t}}{1+\dfrac{1}{t^{2}}}.

Passo 4

Analisar os limites das partes que aparecem:
  • \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{5}{t}=0. Explicação rápida: conforme t cresce, \frac{1}{t} fica cada vez menor (por exemplo, 1/10,1/100,\dots) e tende a 0; multiplicando por 5 apenas escala esse resultado.
  • \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{1}{t^{2}}=0. Mesma ideia, t^{2} cresce ainda mais rápido que t, então o recíproco vai para 0.

Passo 5

Agora aplique as regras de limite para quociente (quando denom. tende a número diferente de zero): se o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1, o quociente tende a 0/1=0. Aplicando às expressões obtidas:
\lim_{t\to\infty}\frac{\dfrac{5}{t}}{1+\dfrac{1}{t^{2}}}=\frac{\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{5}{t}}{\displaystyle\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\dfrac{1}{t^{2}}\Bigr)}=\frac{0}{1}=0.
Portanto o limite existe e é 0.

Resposta

0

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