Determine cada limite:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve
. - A variável
tende a , isto é, devemos analisar o comportamento quando se aproxima de tanto pela direita quanto pela esquerda. - Note que
depende apenas de , logo tem o mesmo comportamento ao aproximar-se de por ou .
Passo 2
Primeiro vamos entender o comportamento de
quando
. Como
é sempre não negativo e tende a
quando
, tem-se
Explicação curta: para
muito pequeno,
é um número muito pequeno positivo, então seu inverso é muito grande; esse raciocínio vale tanto para
quanto para
porque o quadrado elimina o sinal.
Passo 3
Agora use a propriedade da função exponencial base
. Se uma sequência
, então
. Aplicando com
obtemos
Justificativa rápida via logaritmos:
, logo a potência tende a
.
Passo 4
Para simplificar a expressão, faça a substituição auxiliar
Então a expressão do limite fica
Façamos uma manipulação algébrica útil:
Isso é obtido porque
.
Passo 5
Como vimos no Passo 3, quando
temos
. Substituindo na expressão do Passo 4,
porque
quando
. Logo a fração original tende a
.
Passo 6
Observações finais e intuição: a grandeza
domina tanto o numerador quanto o denominador; a diferença entre somar
ou subtrair
torna-se irrelevante quando essa grandeza é enorme, por isso o quociente tende a
. Note também que para
perto de
a expressão é sempre maior que
(pois
implica
), então o limite é
vindo por valores acima de
.