Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{1 / x^{2}}+1}{2^{1 / x^{2}}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to 0} \frac{2^{1/x^{2}}+1}{2^{1/x^{2}}-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve 2^{1/x^{2}}.
  • A variável x tende a 0, isto é, devemos analisar o comportamento quando x se aproxima de 0 tanto pela direita quanto pela esquerda.
  • Note que 1/x^{2} depende apenas de x^{2}, logo tem o mesmo comportamento ao aproximar-se de 0 por x>0 ou x<0.

Passo 2

Primeiro vamos entender o comportamento de \dfrac{1}{x^{2}} quando x \to 0. Como x^{2} é sempre não negativo e tende a 0 quando x \to 0, tem-se
\frac{1}{x^{2}} \longrightarrow +\infty \quad\text{quando } x \to 0.
Explicação curta: para x muito pequeno, x^{2} é um número muito pequeno positivo, então seu inverso é muito grande; esse raciocínio vale tanto para x\to 0^{+} quanto para x\to 0^{-} porque o quadrado elimina o sinal.

Passo 3

Agora use a propriedade da função exponencial base 2. Se uma sequência t \to +\infty, então 2^{t} \to +\infty. Aplicando com t=\dfrac{1}{x^{2}} obtemos
2^{1/x^{2}} \longrightarrow +\infty \quad\text{quando } x \to 0.
Justificativa rápida via logaritmos: \ln\!\big(2^{1/x^{2}}\big)=\dfrac{1}{x^{2}}\ln 2 \to +\infty, logo a potência tende a +\infty.

Passo 4

Para simplificar a expressão, faça a substituição auxiliar
A := 2^{1/x^{2}}.
Então a expressão do limite fica
\frac{A+1}{A-1}.
Façamos uma manipulação algébrica útil:
\frac{A+1}{A-1}=1+\frac{2}{A-1}.
Isso é obtido porque \dfrac{A+1}{A-1}=\dfrac{A-1+2}{A-1}=1+\dfrac{2}{A-1}.

Passo 5

Como vimos no Passo 3, quando x\to 0 temos A=2^{1/x^{2}}\to +\infty. Substituindo na expressão do Passo 4,
1+\frac{2}{A-1} \longrightarrow 1 + 0 = 1,
porque \dfrac{2}{A-1}\to 0 quando A\to +\infty. Logo a fração original tende a 1.

Passo 6

Observações finais e intuição: a grandeza 2^{1/x^{2}} domina tanto o numerador quanto o denominador; a diferença entre somar +1 ou subtrair 1 torna-se irrelevante quando essa grandeza é enorme, por isso o quociente tende a 1. Note também que para x perto de 0 a expressão é sempre maior que 1 (pois A>1 implica (A+1)/(A-1)>1), então o limite é 1 vindo por valores acima de 1.

Resposta

1

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