Determine cada limite:
,
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e o que devemos determinar:
- A expressão a analisar é
. - O ponto de interesse é
. - Precisamos decidir se o limite bilateral existe e, se for necessário, calcular os limites laterais (pela esquerda e pela direita).
Passo 2
Primeiro faço a substituição direta para ver a forma que surge ao aproximar
de
.
Calculo o numerador em :
Calculo o numerador em
O denominador em
é
Portanto a substituição direta dá a forma
, isto é, um numerador finito não nulo dividido por um denominador que tende a zero. Esse tipo de situação costuma indicar que o valor tende para infinito (com sinal dependendo do lado de onde
se aproxima) ou que o limite bilateral não existe. Para decidir com precisão preciso analisar os limites laterais.
Passo 3
Antes de continuar, verifico se é possível aproximar
de
vindos dos dois lados (domínio da expressão).
A raiz exige
A raiz exige
Como
, o ponto
satisfaz a condição e valores próximos a
(tanto à esquerda quanto à direita) também satisfazem, então ambos os limites laterais são relevantes e bem definidos (exceto possivelmente por divergirem).
Passo 4
Para ver melhor o comportamento perto de
racionalizo o numerador (multiplico por conjugado) e simplifico. Tomo a expressão
e multiplico numerador e denominador pelo conjugado
. Assim
No numerador ocorre a diferença de quadrados:
Logo
Factorizo
. Cancelando o fator
(válido para
) obtenho a forma simplificada válida para
próximo de
,
:
Passo 5
Uso a forma simplificada para analisar os limites laterais. Primeiro avalio o comportamento do numerador e do denominador quando
.
O numerador tende a
ou seja, tende para um número finito e negativo (aproxima-se de
).
O denominador tende para
Então a razão tende para
: o sinal do infinito dependerá do sinal do denominador quando
se aproxima de
pela esquerda ou pela direita.
Determino o sinal de
perto de
:
- Para
(aproximação pela direita), por exemplo tem e , então . Assim quando e próximo de . - Para
(aproximação pela esquerda), por exemplo tem e , então . Assim quando e próximo de .
Agora combino sinais:
- Quando
: numerador (negativo), denominador (negativo). Negativo dividido por negativo tende para . Portanto
- Quando
: numerador (negativo), denominador (positivo). Negativo dividido por positivo tende para . Portanto
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (um é
e o outro é
), o limite bilateral
não existe (diverge). Em termos práticos, a função tem uma espécie de “assimptota vertical” em
com sinais opostos nos dois lados.