Determine cada limite:
\lim _{h \rightarrow-4} \frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4},

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{h\to-4}\frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4}.
Informações dadas e o que devemos determinar:
  • A expressão a analisar é \dfrac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4}.
  • O ponto de interesse é h=-4.
  • Precisamos decidir se o limite bilateral existe e, se for necessário, calcular os limites laterais (pela esquerda e pela direita).

Passo 2

Primeiro faço a substituição direta para ver a forma que surge ao aproximar h de -4.
Calculo o numerador em h=-4:
\sqrt{2\big((-4)^{2}-8\big)}+4=\sqrt{2(16-8)}+4=\sqrt{16}+4=4+4=8.
O denominador em h=-4 é
h+4=-4+4=0.
Portanto a substituição direta dá a forma \dfrac{8}{0}, isto é, um numerador finito não nulo dividido por um denominador que tende a zero. Esse tipo de situação costuma indicar que o valor tende para infinito (com sinal dependendo do lado de onde h se aproxima) ou que o limite bilateral não existe. Para decidir com precisão preciso analisar os limites laterais.

Passo 3

Antes de continuar, verifico se é possível aproximar h de -4 vindos dos dois lados (domínio da expressão).
A raiz exige
2\big(h^{2}-8\big)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad h^{2}-8\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |h|\ge \sqrt{8}.
Como \sqrt{8}\approx2{,}828, o ponto h=-4 satisfaz a condição e valores próximos a -4 (tanto à esquerda quanto à direita) também satisfazem, então ambos os limites laterais são relevantes e bem definidos (exceto possivelmente por divergirem).

Passo 4

Para ver melhor o comportamento perto de h=-4 racionalizo o numerador (multiplico por conjugado) e simplifico. Tomo a expressão
\frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4}
e multiplico numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2(h^{2}-8)}-4. Assim
\frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4} =\frac{\big(\sqrt{2(h^{2}-8)}+4\big)\big(\sqrt{2(h^{2}-8)}-4\big)}{(h+4)\big(\sqrt{2(h^{2}-8)}-4\big)}.
No numerador ocorre a diferença de quadrados:
\big(\sqrt{2(h^{2}-8)}\big)^{2}-4^{2}=2(h^{2}-8)-16=2h^{2}-16-16=2h^{2}-32.
Logo
\frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4} =\frac{2h^{2}-32}{(h+4)\big(\sqrt{2(h^{2}-8)}-4\big)}.
Factorizo 2h^{2}-32=2(h^{2}-16)=2(h-4)(h+4). Cancelando o fator (h+4) (válido para h\neq-4) obtenho a forma simplificada válida para h próximo de -4, h\neq-4:
\frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4} =\frac{2(h-4)}{\sqrt{2(h^{2}-8)}-4}.

Passo 5

Uso a forma simplificada para analisar os limites laterais. Primeiro avalio o comportamento do numerador e do denominador quando h\to-4.
O numerador tende a
2(h-4)\longrightarrow 2(-4-4)=2(-8)=-16,
ou seja, tende para um número finito e negativo (aproxima-se de -16).
O denominador tende para
\sqrt{2(h^{2}-8)}-4\longrightarrow \sqrt{2(16-8)}-4=4-4=0.
Então a razão tende para \dfrac{-16}{0}: o sinal do infinito dependerá do sinal do denominador quando h se aproxima de -4 pela esquerda ou pela direita.
Determino o sinal de \sqrt{2(h^{2}-8)}-4 perto de h=-4:
  • Para h>-4 (aproximação pela direita), por exemplo h=-3{,}9 tem h^{2}=15{,}21 e 2(h^{2}-8)=14{,}42, então \sqrt{2(h^{2}-8)}\approx3{,}80<4. Assim \sqrt{2(h^{2}-8)}-4<0 quando h>-4 e próximo de -4.
  • Para h<-4 (aproximação pela esquerda), por exemplo h=-4{,}1 tem h^{2}=16{,}81 e 2(h^{2}-8)=17{,}62, então \sqrt{2(h^{2}-8)}\approx4{,}20>4. Assim \sqrt{2(h^{2}-8)}-4>0 quando h<-4 e próximo de -4.
Agora combino sinais:
  • Quando h\to-4^{+}: numerador \to -16 (negativo), denominador \to 0^{-} (negativo). Negativo dividido por negativo tende para +\infty. Portanto
\lim_{h\to-4^{+}}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4}=+\infty.
  • Quando h\to-4^{-}: numerador \to -16 (negativo), denominador \to 0^{+} (positivo). Negativo dividido por positivo tende para -\infty. Portanto
\lim_{h\to-4^{-}}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4}=-\infty.

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes (um é +\infty e o outro é -\infty), o limite bilateral \lim_{h\to-4} não existe (diverge). Em termos práticos, a função tem uma espécie de “assimptota vertical” em h=-4 com sinais opostos nos dois lados.

Resposta

\displaystyle \lim_{h\to-4^-}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4}=-\infty
\displaystyle \lim_{h\to-4^+}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4}=+\infty
\displaystyle \lim_{h\to-4}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4} não existe

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