Determine cada um dos limites dados a seguir.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{2} \operatorname{sen}(x)\right).

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\bigl(x^2\sin(x)\bigr).
O conteúdo é limite de produto entre uma parte que cresce sem limite x^2 e uma parte oscilante e limitada \sin(x). Vamos usar desigualdades e ainda um argumento com sequências para mostrar que não há limite finito nem \pm\infty.

Passo 2

Sabemos que, para todo x,
-1 \le \sin(x)\le 1.
Multiplicando por x^2\ge0 obtemos
-x^2 \;\le\; x^2\sin(x)\;\le\; x^2.

Passo 3

Quando x\to -\infty temos
x^2\to +\infty \quad\text{e}\quad -\,x^2\to -\infty.
Logo o termo intermediário x^2\sin(x) fica “espremido” entre algo que vai a -\infty e algo que vai a +\infty. O Teorema do Confronto não garante convergência aqui.

Passo 4

Para reforçar que não há limite, considere duas sequências que tendem a -\infty:
  1. x_n = -2n\pi + \tfrac{\pi}{2}. Então \sin(x_n)=1 e
x_n^2\sin(x_n)=x_n^2\to +\infty.
  1. y_n = -2n\pi. Então \sin(y_n)=0 e
y_n^2\sin(y_n)=0\quad\text{para todo }n.
Como encontramos sub-sequências com comportamentos diferentes (uma vai a +\infty e outra fica em 0), não há valor único de limite.

Resposta

O limite não existe (diverge sem convergir a nenhum valor, nem mesmo \pm\infty).

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