Determine cada um dos limites dados a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede
O conteúdo é limite de produto entre uma parte que cresce sem limite
e uma parte oscilante e limitada
. Vamos usar desigualdades e ainda um argumento com sequências para mostrar que não há limite finito nem
.
Passo 2
Sabemos que, para todo
,
Multiplicando por
obtemos
Passo 3
Quando
temos
Logo o termo intermediário
fica “espremido” entre algo que vai a
e algo que vai a
. O Teorema do Confronto não garante convergência aqui.
Passo 4
Para reforçar que não há limite, considere duas sequências que tendem a
:
-
. Então e
-
. Então e
Como encontramos sub-sequências com comportamentos diferentes (uma vai a
e outra fica em
), não há valor único de limite.
Resposta
O limite não existe (diverge sem convergir a nenhum valor, nem mesmo
).