\hline 4) & Seja g uma função tal que 2 x \leq g(x) \leq x^{4}-x^{2}+2, para todo x. Calcule \lim _{x \rightarrow 1} g(x). \

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função g que satisfaz, para todo x,
2x \;\le\; g(x)\;\le\; x^{4}-x^{2}+2
e pede \lim_{x\to1}g(x).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Confronto (ou “Sanduíche”), que afirma: se funções f e h têm o mesmo limite L em um ponto e f(x)\le g(x)\le h(x) nessa vizinhança, então \lim g(x)=L.

Passo 2

Calculamos o limite da função que está abaixo de g, isto é
\lim_{x\to1}2x.
Como é uma função polinomial, basta substituir x=1:
\lim_{x\to1}2x = 2\cdot1 = 2.

Passo 3

Agora calculamos o limite da função que está acima de g, ou seja
\lim_{x\to1}\bigl(x^{4}-x^{2}+2\bigr).
Também é polinomial, logo
\lim_{x\to1}(x^{4}-x^{2}+2) = 1^{4}-1^{2}+2 = 1-1+2 = 2.

Passo 4

Como temos
\lim_{x\to1}2x = 2 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1}(x^{4}-x^{2}+2) = 2
e 2x \le g(x)\le x^{4}-x^{2}+2, pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{x\to1}g(x) = 2.

Resposta

2

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