\hline 2) & Use o Teorema do Confronto para mostrar que
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\sqrt{x^{3}+x^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]=0 \

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\Bigl[\sqrt{x^{3}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr]
e quer que usemos o Teorema do Confronto (squeeze theorem). O que vamos precisar é:
  • saber que \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1,
  • encontrar duas funções que “encapsulem” nossa expressão e que tenham limite zero em x\to0.

Passo 2

Primeiro note que
\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
então a expressão dentro do limite fica
\sqrt{x^{3}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\sqrt{x^{3}+x^{2}}\times1 =\sqrt{x^{3}+x^{2}}.
Além disso, para x suficientemente próximo de 0 (por exemplo \lvert x\rvert<1), temos x+1>0 e logo x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1)\ge0, de modo que a raiz está bem definida.

Passo 3

Para \lvert x\rvert<1 vale
x+1\le2 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1)\le2\,x^{2}.
Extraindo raiz quadrada em todos os termos não-negativos, obtemos
0\le\sqrt{x^{3}+x^{2}}\le\sqrt{2\,x^{2}} =\sqrt{2}\,\lvert x\rvert.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto, como
0\le \sqrt{x^{3}+x^{2}}\le \sqrt{2}\,\lvert x\rvert
e sabemos que
\lim_{x\to0}0=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\sqrt{2}\,\lvert x\rvert =\sqrt{2}\;\lim_{x\to0}\lvert x\rvert =0,
segue que
\lim_{x\to0}\sqrt{x^{3}+x^{2}} =0.

Resposta

0

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