Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- A equação diferencial dada é
onde
é o seno (em notação usual:
).
- Informações importantes extraídas do enunciado:
- Trata-se de uma equação de segunda ordem para
. - O termo
multiplica , logo a forma típica de divisão por exige . Portanto a resolução será para (pode-se tratar e separadamente se necessário).
- Trata-se de uma equação de segunda ordem para
- O que o enunciado pede:
- Determinar a solução geral
da equação diferencial (isto é, a família de soluções com duas constantes arbitrárias).
- Determinar a solução geral
Passo 2
Redução de ordem: vamos transformar a equação de segunda ordem num problema de primeira ordem para facilitar a resolução.
- Divido a equação por
(válido para ):
- Introduzo a variável
. Então e a equação vira uma equação linear de primeira ordem para :
- Explicando o que é uma equação linear de primeira ordem: tem forma
. Aqui e . O método padrão é usar um fator integrante .
Passo 3
Encontrar o fator integrante e integrar a equação para
.
- Calcúla-se o fator integrante:
Para trabalhar de forma simples assumimos
e usamos
(o caso
é análogo, com valores absolutos nos logaritmos). Multiplicando a equação por
obtemos
- A expressão à esquerda é a derivada de
, pois
Portanto
- Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é uma constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
Passo 4
Calcular a integral
passo a passo.
- Faço uma integração por partes escolhendo
e . Então e . Aplicando a fórmula ,
Simplificando sinais:
- Agora cálculo
por partes: tomo e . Então e . Assim
- Substituindo de volta em
:
Distribuindo os sinais:
- A integral
não tem primitiva elementar; define-se a função seno integral
que serve como antiderivada (qualquer antiderivada difere de
por constante). Assim, tomando para a primitiva
(constantes serão absorvidas em
), obtemos
- Lembremos que
. Multiplicando por obtemos :
Simplificando termo a termo:
Passo 5
Integrar
para obter
. Agora integro cada termo separadamente.
- Escrevo
novamente:
- Integro o termo
:
- Integro o termo
. Separe:
- Integro o termo
. Faço integração por partes: tomo (logo ) e (logo ). Assim
- Calculo
por partes: com , temos , , então
Substituindo:
- Integro
:
- Somando todas as primitivas e adicionando uma constante
obtemos . Agrupando termos semelhantes: - termos com
: . - termos com
: . - o termo logarítmico:
. - o termo com
: . - termo polinomial com constante
: . - e a constante de integração final
.
- termos com
Passo 6
Escrever a solução geral final e comentar domínio e notação usada.
- A solução geral da equação, para
, é
onde
é a função seno integral, e
são constantes arbitrárias de integração. Esta expressão é válida para
; o comportamento em
exigiria análise separada (limites e continuidade).
- Pequena nota didática: apareceu
porque a integral não tem primitiva elementar em termos de funções elementares; a função seno integral é o objeto padrão usado nesses casos.