Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
t^{2} \ddot{s}-t \dot{s}=1-\operatorname{sen} t

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • A equação diferencial dada é
t^{2}\ddot{s}-t\dot{s}=1-\operatorname{sen}t,
onde \operatorname{sen}t é o seno (em notação usual: \sin t).
  • Informações importantes extraídas do enunciado:
    • Trata-se de uma equação de segunda ordem para s(t).
    • O termo t^{2} multiplica \ddot{s}, logo a forma típica de divisão por t^{2} exige t\neq 0. Portanto a resolução será para t\neq 0 (pode-se tratar t>0 e t<0 separadamente se necessário).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a solução geral s(t) da equação diferencial (isto é, a família de soluções com duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Redução de ordem: vamos transformar a equação de segunda ordem num problema de primeira ordem para facilitar a resolução.
  • Divido a equação por t^{2} (válido para t\neq 0):
\ddot{s}-\frac{1}{t}\dot{s}=\frac{1-\sin t}{t^{2}}.
  • Introduzo a variável v(t)=\dot{s}(t). Então \dot{v}=\ddot{s} e a equação vira uma equação linear de primeira ordem para v:
\dot{v}-\frac{1}{t}v=\frac{1-\sin t}{t^{2}}.
  • Explicando o que é uma equação linear de primeira ordem: tem forma \dot{v}+p(t)v=q(t). Aqui p(t)=-1/t e q(t)=(1-\sin t)/t^{2}. O método padrão é usar um fator integrante \mu(t)=\exp\!\big(\int p(t)\,dt\big).

Passo 3

Encontrar o fator integrante e integrar a equação para v.
  • Calcúla-se o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{t}\,dt\right)=\exp(-\ln|t|)=\frac{1}{|t|}.
Para trabalhar de forma simples assumimos t>0 e usamos \mu(t)=t^{-1} (o caso t<0 é análogo, com valores absolutos nos logaritmos). Multiplicando a equação por \mu(t)=t^{-1} obtemos
\frac{1}{t}\dot{v}-\frac{1}{t^{2}}v=\frac{1-\sin t}{t^{3}}.
  • A expressão à esquerda é a derivada de \dfrac{v}{t}, pois
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{v}{t}\right)=\frac{\dot{v}t-v}{t^{2}}=\frac{1}{t}\dot{v}-\frac{1}{t^{2}}v.
Portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{v}{t}\right)=\frac{1-\sin t}{t^{3}}.
  • Integro ambos os lados em relação a t:
\frac{v}{t}=\int\frac{1-\sin t}{t^{3}}\,dt + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
I(t)=\int\frac{1-\sin t}{t^{3}}\,dt.

Passo 4

Calcular a integral I(t)=\int\frac{1-\sin t}{t^{3}}\,dt passo a passo.
  • Faço uma integração por partes escolhendo u=1-\sin t e dv=t^{-3}dt. Então du=-\cos t\,dt e v=\displaystyle\int t^{-3}dt=-\frac{1}{2}t^{-2}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv-\int v\,du,
I(t)=-(1-\sin t)\frac{1}{2t^{2}}-\int\left(-\frac{1}{2t^{2}}\right)(-\cos t)\,dt.
Simplificando sinais:
I(t)=-\frac{1-\sin t}{2t^{2}}-\frac{1}{2}\int\frac{\cos t}{t^{2}}\,dt.
  • Agora cálculo \int \dfrac{\cos t}{t^{2}}\,dt por partes: tomo u=\cos t e dv=t^{-2}dt. Então du=-\sin t\,dt e v=-t^{-1}. Assim
\int\frac{\cos t}{t^{2}}\,dt=-\frac{\cos t}{t}-\int\left(-\frac{1}{t}\right)(-\sin t)\,dt =-\frac{\cos t}{t}-\int\frac{\sin t}{t}\,dt.
  • Substituindo de volta em I(t):
I(t)=-\frac{1-\sin t}{2t^{2}}-\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos t}{t}-\int\frac{\sin t}{t}\,dt\right).
Distribuindo os sinais:
I(t)=-\frac{1-\sin t}{2t^{2}}+\frac{\cos t}{2t}+\frac{1}{2}\int\frac{\sin t}{t}\,dt.
  • A integral \int \dfrac{\sin t}{t}\,dt não tem primitiva elementar; define-se a função seno integral
\operatorname{Si}(t)=\int_{0}^{t}\frac{\sin u}{u}\,du,
que serve como antiderivada (qualquer antiderivada difere de \operatorname{Si}(t) por constante). Assim, tomando para a primitiva \int\frac{\sin t}{t}\,dt=\operatorname{Si}(t) (constantes serão absorvidas em C_{1}), obtemos
I(t)=-\frac{1-\sin t}{2t^{2}}+\frac{\cos t}{2t}+\frac{1}{2}\operatorname{Si}(t).
  • Lembremos que \dfrac{v}{t}=I(t)+C_{1}. Multiplicando por t obtemos v=\dot{s}:
\dot{s}=v=t\Bigg(-\frac{1-\sin t}{2t^{2}}+\frac{\cos t}{2t}+\frac{1}{2}\operatorname{Si}(t)+C_{1}\Bigg).
Simplificando termo a termo:
\dot{s}=-\frac{1-\sin t}{2t}+\frac{1}{2}\cos t+\frac{t}{2}\operatorname{Si}(t)+C_{1}t.

Passo 5

Integrar \dot{s} para obter s(t). Agora integro cada termo separadamente.
  • Escrevo \dot{s} novamente:
\dot{s}=\frac{1}{2}\cos t-\frac{1-\sin t}{2t}+\frac{t}{2}\operatorname{Si}(t)+C_{1}t.
  • Integro o termo \dfrac{1}{2}\cos t:
\int\frac{1}{2}\cos t\,dt=\frac{1}{2}\sin t.
  • Integro o termo -\dfrac{1-\sin t}{2t}. Separe:
-\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}\,dt+\frac{1}{2}\int\frac{\sin t}{t}\,dt =-\frac{1}{2}\ln|t|+\frac{1}{2}\operatorname{Si}(t).
  • Integro o termo \dfrac{t}{2}\operatorname{Si}(t). Faço integração por partes: tomo U=\operatorname{Si}(t) (logo dU=\dfrac{\sin t}{t}\,dt) e dV=\dfrac{t}{2}dt (logo V=\dfrac{t^{2}}{4}). Assim
\int\frac{t}{2}\operatorname{Si}(t)\,dt=\frac{t^{2}}{4}\operatorname{Si}(t)-\int\frac{t^{2}}{4}\cdot\frac{\sin t}{t}\,dt =\frac{t^{2}}{4}\operatorname{Si}(t)-\frac{1}{4}\int t\sin t\,dt.
  • Calculo \int t\sin t\,dt por partes: com a=t, db=\sin t\,dt temos da=dt, b=-\cos t, então
\int t\sin t\,dt=-t\cos t+\int\cos t\,dt=-t\cos t+\sin t.
Substituindo:
\int\frac{t}{2}\operatorname{Si}(t)\,dt=\frac{t^{2}}{4}\operatorname{Si}(t)-\frac{1}{4}\big(-t\cos t+\sin t\big) =\frac{t^{2}}{4}\operatorname{Si}(t)+\frac{t\cos t}{4}-\frac{\sin t}{4}.
  • Integro C_{1}t:
\int C_{1}t\,dt=\frac{C_{1}t^{2}}{2}.
  • Somando todas as primitivas e adicionando uma constante C_{2} obtemos s(t). Agrupando termos semelhantes:
    • termos com \sin t: \dfrac{1}{2}\sin t-\dfrac{1}{4}\sin t=\dfrac{1}{4}\sin t.
    • termos com \operatorname{Si}(t): \dfrac{1}{2}\operatorname{Si}(t)+\dfrac{t^{2}}{4}\operatorname{Si}(t)=\dfrac{t^{2}+2}{4}\operatorname{Si}(t).
    • o termo logarítmico: -\dfrac{1}{2}\ln|t|.
    • o termo com \cos t: \dfrac{t\cos t}{4}.
    • termo polinomial com constante C_{1}: \dfrac{C_{1}t^{2}}{2}.
    • e a constante de integração final C_{2}.

Passo 6

Escrever a solução geral final e comentar domínio e notação usada.
  • A solução geral da equação, para t\neq 0, é
s(t)=\frac{1}{4}\sin t+\frac{t\cos t}{4}-\frac{1}{2}\ln|t|+\frac{t^{2}+2}{4}\operatorname{Si}(t)+\frac{C_{1}t^{2}}{2}+C_{2},
onde \operatorname{Si}(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\frac{\sin u}{u}\,du é a função seno integral, e C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias de integração. Esta expressão é válida para t\neq 0; o comportamento em t=0 exigiria análise separada (limites e continuidade).
  • Pequena nota didática: apareceu \operatorname{Si}(t) porque a integral \int\frac{\sin t}{t}\,dt não tem primitiva elementar em termos de funções elementares; a função seno integral é o objeto padrão usado nesses casos.

Resposta

s(t)=\frac{1}{4}\sin t+\frac{t\cos t}{4}-\frac{1}{2}\ln|t|+\frac{t^{2}+2}{4}\operatorname{Si}(t)+\frac{C_{1}t^{2}}{2}+C_{2}

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