Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
\left(\frac{d b}{d p}\right)^{7}=5 p

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(\frac{d b}{d p}\right)^{7}=5p,
e pede que se determine b em função de p. As informações relevantes são:
  • b é função de p;
  • a equação relaciona a derivada \dfrac{d b}{d p} elevada à sétima potência com 5p.
    O objetivo é encontrar a família de funções b(p) que satisfazem essa relação (incluindo a constante de integração).

Passo 2

Primeira ideia para resolver: devemos “desfazer” a sétima potência aplicada à derivada. Para isso usamos a raiz sétima. Como a raiz sétima é ímpar, para valores reais de p existe uma única raiz real de 5p. Portanto podemos tomar a raiz sétima real dos dois lados e obter uma equação para \dfrac{d b}{d p}. Em notação:
\frac{d b}{d p} = \bigl(5p\bigr)^{1/7}.
Aqui usamos que, para todo número real x, existe uma única raiz ímpar real x^{1/7} tal que (x^{1/7})^{7}=x.

Passo 3

Reescrevendo \bigl(5p\bigr)^{1/7} como produto de potências:
\bigl(5p\bigr)^{1/7}=5^{1/7}\,p^{1/7}.
Logo a equação diferencial torna-se a equação de primeira ordem simples
\frac{d b}{d p}=5^{1/7}\,p^{1/7}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a p. Em palavras: separação não é estritamente necessária aqui porque já temos \dfrac{d b}{d p} isolada; basta integrar a função do lado direito para obter b(p). Escrevendo a integral:
b(p)=\int 5^{1/7}\,p^{1/7}\,dp + C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário).

Passo 5

Usamos a regra de integração do tipo potência: para \alpha\neq -1,
\int p^{\alpha}\,dp=\frac{p^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
Aqui \alpha=\tfrac{1}{7}, portanto \alpha+1=\tfrac{8}{7}. Aplicando isso:
\int p^{1/7}\,dp=\frac{p^{8/7}}{8/7}=\frac{7}{8}\,p^{8/7}.
Multiplicando pelo fator constante 5^{1/7} que estava fora da integral, obtemos
b(p)=5^{1/7}\cdot\frac{7}{8}\,p^{8/7}+C.

Passo 6

Simplificando a constante multiplicativa, a solução geral fica
b(p)=\frac{7}{8}\,5^{1/7}\,p^{8/7}+C,
com C\in\mathbb{R}. Observação sobre domínio: como a raiz sétima é ímpar, p^{8/7} aqui é bem definido como número real para todo p\in\mathbb{R} (note que p^{8/7}=(p^{1/7})^{8} e p^{1/7} existe e é real para todo p\in\mathbb{R}).

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução obtida,
\frac{d b}{d p}=\frac{7}{8}\,5^{1/7}\cdot\frac{8}{7}\,p^{1/7}=5^{1/7}\,p^{1/7}=\bigl(5p\bigr)^{1/7}.
Elevando à sétima potência recupera-se a equação original:
\left(\frac{d b}{d p}\right)^{7}=\bigl(5^{1/7}\,p^{1/7}\bigr)^{7}=5p.
Portanto a solução está correta.

Passo 8

Comentário final e alternativa: se fossem permitidas soluções complexas, ao tomar a raiz sétima poderia aparecer multiplicação por quaisquer das sete raízes complexas de unidade; nesse caso surgiriam soluções complexas adicionais. Para soluções reais, a única escolha consistente é a raiz real sétima usada acima.

Resposta

b(p)=\frac{7}{8}\,5^{1/7}\,p^{8/7}+C

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