Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se determine
em função de
. As informações relevantes são:
-
é função de ; - a equação relaciona a derivada
elevada à sétima potência com .
O objetivo é encontrar a família de funçõesque satisfazem essa relação (incluindo a constante de integração).
Passo 2
Primeira ideia para resolver: devemos “desfazer” a sétima potência aplicada à derivada. Para isso usamos a raiz sétima. Como a raiz sétima é ímpar, para valores reais de
existe uma única raiz real de
. Portanto podemos tomar a raiz sétima real dos dois lados e obter uma equação para
. Em notação:
Aqui usamos que, para todo número real
, existe uma única raiz ímpar real
tal que
.
Passo 3
Reescrevendo
como produto de potências:
Logo a equação diferencial torna-se a equação de primeira ordem simples
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
. Em palavras: separação não é estritamente necessária aqui porque já temos
isolada; basta integrar a função do lado direito para obter
. Escrevendo a integral:
onde
é a constante de integração (número real arbitrário).
Passo 5
Usamos a regra de integração do tipo potência: para
,
Aqui
, portanto
. Aplicando isso:
Multiplicando pelo fator constante
que estava fora da integral, obtemos
Passo 6
Simplificando a constante multiplicativa, a solução geral fica
com
. Observação sobre domínio: como a raiz sétima é ímpar,
aqui é bem definido como número real para todo
(note que
e
existe e é real para todo
).
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução obtida,
Elevando à sétima potência recupera-se a equação original:
Portanto a solução está correta.
Passo 8
Comentário final e alternativa: se fossem permitidas soluções complexas, ao tomar a raiz sétima poderia aparecer multiplicação por quaisquer das sete raízes complexas de unidade; nesse caso surgiriam soluções complexas adicionais. Para soluções reais, a única escolha consistente é a raiz real sétima usada acima.