Observação didática sobre o termo integrado: a primitiva \displaystyle\int \frac{e^{x-\tfrac{1}{2x^{2}}}}{x^{4}}\,dx não tem primitiva elementar simples (não se reduz a funções elementares usuais). Isso não impede a solução: podemos deixar essa primitiva em forma integral indefinida ou como uma primitiva nomeada. Em muitas questões isso é aceitável — a solução é expressa em termos de uma integral conhecida.
Passo 5
Interpretar e preparar para obter y(x): integrar u três vezes.
Temos y^{(3)}(x)=u(x). Para obter y integro u três vezes. Para manter a escrita limpa, defino uma primitiva simbólica
Integro agora passo a passo (cada integração introduz uma nova constante de integração). A primeira integração dá y'', a segunda dá y' e a terceira dá y. Em vez de tentar escrever primitivas explícitas (impossíveis em forma elementar), mantenho as integrais aninhadas, que é a forma correta e completa da solução geral.
Passo 6
Escrever a solução geral y(x) com constantes arbitrárias.
Integrando três vezes a expressão para y^{(3)} obtemos a solução geral. Escrevendo as integrais aninhadas de forma explícita (e usando constantes C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}):
onde F foi definida acima como uma primitiva do integrando \dfrac{e^{t-\tfrac{1}{2t^{2}}}}{t^{4}}, e C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.
Comentário sobre as constantes: há quatro constantes porque a EDO original é de quarta ordem. A notação acima deixa explícito que a parte particular envolve uma integral tripla da função \exp\!\big(\tfrac{1}{2\tau^{2}}\big)F(\tau) e a parte homogênea corresponde às combinações lineares que surgem das integrações (aqui agrupadas em polinômios de grau ≤2 mais o efeito de C_{1} que também gera uma contribuição não-polinomial quando multiplicado por \exp(1/(2x^{2})) e integrado três vezes — tudo isso está absorvido nas constantes arbitrárias posteriores).