Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
x^{4} y^{(4)}+x y^{\prime \prime \prime}=e^{x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dá a equação diferencial
x^{4}y^{(4)}(x)+x\,y^{(3)}(x)=e^{x}.
  • O que se pede: determinar (ou seja, encontrar) a solução geral y(x) dessa equação diferencial.
  • Observações importantes extraídas do enunciado:
    • A equação envolve derivadas até quarta ordem de y.
    • Há fator x e x^{4} multiplicando derivadas, então devemos tomar cuidado com x=0; a resolução se faz para intervalos onde x\neq0.
    • Não há condição inicial dada; portanto buscamos a solução geral contendo quatro constantes arbitrárias.

Passo 2

Redução de ordem por substituição (objetivo: transformar em uma EDO de ordem menor).
  • Defino a nova função
u(x):=y^{(3)}(x),
isto é, u é a terceira derivada de y. Com isso y^{(4)}=u'(x). Substituo na equação dada:
x^{4}u'(x)+x\,u(x)=e^{x}.
  • Agora temos uma equação de primeira ordem para u. Isso é bom: resolveremos u e, depois, integramos três vezes para obter y.

Passo 3

Colocar a equação para u na forma padrão de EDO linear de primeira ordem e aplicar fator integrante.
  • Divido a equação por x^{4} (válido quando x\neq0) para obter a forma padrão:
u'(x)+\frac{1}{x^{3}}\,u(x)=\frac{e^{x}}{x^{4}}.
  • Aqui a equação tem a forma
u'+p(x)u=q(x)
com
p(x)=\frac{1}{x^{3}},\qquad q(x)=\frac{e^{x}}{x^{4}}.
  • Para resolver, calculo o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{x^{3}}\,dx\Big).
  • Calculo da integral:
\int \frac{1}{x^{3}}\,dx=\int x^{-3}\,dx=-\frac{1}{2x^{2}}.
Logo
\mu(x)=\exp\!\Big(-\frac{1}{2x^{2}}\Big).
  • Multiplico a equação por \mu(x). Pela propriedade do fator integrante obtemos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,u(x)\big)=\mu(x)\,q(x)=\exp\!\Big(-\frac{1}{2x^{2}}\Big)\cdot\frac{e^{x}}{x^{4}}.

Passo 4

Integrar a igualdade obtida para encontrar u(x).
  • Integro ambos os lados:
\mu(x)\,u(x)=\int \exp\!\Big(-\frac{1}{2x^{2}}\Big)\frac{e^{x}}{x^{4}}\,dx + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
  • Isolando u(x) e escrevendo de forma mais explícita:
u(x)=y^{(3)}(x)=\exp\!\Big(\frac{1}{2x^{2}}\Big)\left(\int \frac{e^{x-\tfrac{1}{2x^{2}}}}{x^{4}}\,dx + C_{1}\right).
  • Observação didática sobre o termo integrado: a primitiva \displaystyle\int \frac{e^{x-\tfrac{1}{2x^{2}}}}{x^{4}}\,dx não tem primitiva elementar simples (não se reduz a funções elementares usuais). Isso não impede a solução: podemos deixar essa primitiva em forma integral indefinida ou como uma primitiva nomeada. Em muitas questões isso é aceitável — a solução é expressa em termos de uma integral conhecida.

Passo 5

Interpretar e preparar para obter y(x): integrar u três vezes.
  • Temos y^{(3)}(x)=u(x). Para obter y integro u três vezes. Para manter a escrita limpa, defino uma primitiva simbólica
F(x):=\int \frac{e^{x-\tfrac{1}{2x^{2}}}}{x^{4}}\,dx,
uma primitiva (indefinida) qualquer do integrando. Assim
y^{(3)}(x)=\exp\!\Big(\frac{1}{2x^{2}}\Big)\big(F(x)+C_{1}\big).
  • Integro agora passo a passo (cada integração introduz uma nova constante de integração). A primeira integração dá y'', a segunda dá y' e a terceira dá y. Em vez de tentar escrever primitivas explícitas (impossíveis em forma elementar), mantenho as integrais aninhadas, que é a forma correta e completa da solução geral.

Passo 6

Escrever a solução geral y(x) com constantes arbitrárias.
  • Integrando três vezes a expressão para y^{(3)} obtemos a solução geral. Escrevendo as integrais aninhadas de forma explícita (e usando constantes C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}):
y(x)=\int^{x}\!\int^{s_{1}}\!\int^{s_{2}} \exp\!\Big(\frac{1}{2\tau^{2}}\Big)\big(F(\tau)+C_{1}\big)\,d\tau\,ds_{2}\,ds_{1}+C_{2}+C_{3}x+C_{4}x^{2},
onde F foi definida acima como uma primitiva do integrando \dfrac{e^{t-\tfrac{1}{2t^{2}}}}{t^{4}}, e C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.
  • Comentário sobre as constantes: há quatro constantes porque a EDO original é de quarta ordem. A notação acima deixa explícito que a parte particular envolve uma integral tripla da função \exp\!\big(\tfrac{1}{2\tau^{2}}\big)F(\tau) e a parte homogênea corresponde às combinações lineares que surgem das integrações (aqui agrupadas em polinômios de grau ≤2 mais o efeito de C_{1} que também gera uma contribuição não-polinomial quando multiplicado por \exp(1/(2x^{2})) e integrado três vezes — tudo isso está absorvido nas constantes arbitrárias posteriores).

Resposta

y(x)=\int^{x}\!\int^{s_{1}}\!\int^{s_{2}} \exp\!\Big(\frac{1}{2\tau^{2}}\Big)\!\left(\int^{\tau}\frac{e^{t-\tfrac{1}{2t^{2}}}}{t^{4}}\,dt + C_{1}\right)\!d\tau\,ds_{2}\,ds_{1}+C_{2}+C_{3}x+C_{4}x^{2},
com C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} constantes arbitrárias e integráveis em qualquer intervalo que não contenha x=0.

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