Determine f(t) para cada uma das seguintes funções
F(s)=102(s+1)s^2(s^2+2 s+5)

Passo 1

E aí, beleza? O enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace
F(s)=102,(s+1)s^2,(s^2+2s+5),
Isso é conteúdo de transformada de Laplace e frações parciais.
O que vamos precisar:
1) Saber que a gente desmonta uma função racional com frações parciais.
2) Conhecer os pares básicos
- ,
-
- .
Beleza, a partir do próximo passo a gente destrincha tudo.

Passo 2

Primeiro montamos a decomposição em frações parciais:
102,(s+1)s^2(s^2+2s+5)=As+Bs^2+Cs+Ds^2+2s+5,
Aqui a ideia é achar de forma que, depois, a gente invert a Laplace de cada pedacinho.

Passo 3

Multiplicando tudo por 102(s+1)=A,s,(s^2+2s+5)+B,(s^2+2s+5)+(Cs+D),s^2, e comparando coeficientes:

Desenvolvendo e juntando termos em potência de :
- Coef. de :
- Coef. de :
- Coef. de :
- Coef. constante: .
Resolvendo:
,
,
,
.

Passo 4

A gente ainda quer deixar o denominador s^2+2s+5=(s+1)^2+4, num formato “ -tfrac30625s-tfrac112225 =-tfrac30625(s+1);-;tfrac81625, ”.
Então:
-tfrac30625,s+1(s+1)^2+4 e -tfrac81625,1(s+1)^2+4,
E o numerador vira

Logo a fração fica a soma de

Passo 5

Agora é aplicar os pares inversos:
  1. f(t) =30625;+;1025,t ;-;30625,e^-tcos(2t) ;-;81625,12,e^-tsin(2t) .
  2. .
  3. .
  4. .
    Reparou que no item 4 usamos ? Então, pra encaixar,
    .
Juntando tudo:
Simplificando :

Resposta

boxed f(t) =30625 ;+;1025,t ;-;30625,e^-tcos(2t) ;-;40825,e^-tsin(2t)

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