Determine o comprimento de arco do laço da curva alpha(t)=(t^2, t-t^33).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do “laço” da curva definida por alpha(t) = (t^2, t - t^33). Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimento de arco para curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular derivadas e integrar para achar esse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula é:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Aqui, x(t) e y(t) são as funções que definem nossa curva, e a e b são os valores de t que delimitam o trecho da curva que queremos medir.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.
Dada a nossa curva alpha(t) = (t^2, t - t^33):
  • x(t) = t^2, então:
dxdt = 2t
  • y(t) = t - t^33, então:
dydt = 1 - t^2

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos montar a expressão dentro da raiz na fórmula do comprimento de arco:
raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 = raiz(2t)^2 + (1 - t^2)^2 = raiz4t^2 + (1 - 2t^2 + t^4) = raizt^4 + 2t^2 + 1
Simplificando dentro da raiz:
t^4 + 2t^2 + 1 = (t^2 + 1)^2
Então, a expressão fica:
raiz(t^2 + 1)^2 = t^2 + 1

Passo 5

Agora precisamos determinar os limites de integração a e b que correspondem ao “laço” da curva. Para isso, vamos encontrar os valores de t onde a curva se autocruzou, ou seja, onde alpha(t1) = alpha(t2) para t1 neq t2.
Igualando as componentes:
  • t1^2 = t2^2 implies t1 = pm t2
  • t1 - t1^33 = t2 - t2^33
Considerando t1 = -t2, substituindo na segunda equação:
-t2 - (-t2)^33 = t2 - t2^33
Simplificando:
-t2 + t2^33 = t2 - t2^33
Multiplicando ambos os lados por 3:
-3t2 + t2^3 = 3t2 - t2^3
Levando todos os termos para um lado:
-6t2 + 2t2^3 = 0 implies 2t2(t2^2 - 3) = 0
Então, t2 = 0 ou t2 = pmraiz3. O ponto de autocruzamento ocorre quando t = raiz3 e t = -raiz3. Portanto, vamos integrar de t = -raiz3 a t = raiz3 para cobrir todo o laço.

Passo 6

Com os limites de integração definidos, vamos montar a integral para calcular o comprimento do arco:
L = integral-raiz3^raiz3 (t^2 + 1) , dt

Passo 7

Agora, vamos calcular essa integral:
L = integral-raiz3^raiz3 (t^2 + 1) , dt = [ t^33 + t ]-raiz3^raiz3 = ( (raiz3)^33 + raiz3 ) - ( (-raiz3)^33 + (-raiz3) )
Calculando cada termo:
(raiz3)^33 = 3raiz33 = raiz3
Então:
L = (raiz3 + raiz3) - (-raiz3 - raiz3) = 2raiz3 + 2raiz3 = 4raiz3

Resposta

O comprimento do arco do laço da curva é 4raiz3 unidades.

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