Determine o comprimento de arco do laço da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do “laço” da curva definida por
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimento de arco para curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular derivadas e integrar para achar esse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula é:
Aqui,
e
são as funções que definem nossa curva, e
e
são os valores de
que delimitam o trecho da curva que queremos medir.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Dada a nossa curva
:
-
, então:
-
, então:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos montar a expressão dentro da raiz na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora precisamos determinar os limites de integração
e
que correspondem ao “laço” da curva. Para isso, vamos encontrar os valores de
onde a curva se autocruzou, ou seja, onde
para
.
Igualando as componentes:
Considerando
, substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Levando todos os termos para um lado:
Então,
ou
. O ponto de autocruzamento ocorre quando
e
. Portanto, vamos integrar de
a
para cobrir todo o laço.
Passo 6
Com os limites de integração definidos, vamos montar a integral para calcular o comprimento do arco:
Passo 7
Agora, vamos calcular essa integral:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O comprimento do arco do laço da curva é
unidades.