Determine
para cada uma das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para determinar
, a transformada inversa de Laplace de
. Informações relevantes fornecidas:
Não há outras imagens ou tabelas. A tarefa é encontrar
tal que
.
Passo 2
Vamos decompor
em frações parciais do tipo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Vamos expandir o lado direito e agrupar termos:
Igualando coeficientes dos polinômios em
temos o sistema
Passo 3
Resolvendo o último equação primeiro:
Com
,
Portanto a decomposição ficou
Passo 4
Para inverter a segunda fração, é conveniente completar o quadrado no denominador:
Agora escrevemos o numerador
em função de
:
Assim
Passo 5
Lembrete das transformadas inversas padrão (válidas para
):
No nosso caso
e
. Aplicando termo a termo a
obtemos:
e para o último termo note que
, então
portanto
Com o sinal negativo presente, esse termo aparece subtraído.
Passo 6
Somando as inversas de todos os termos, a função no tempo é