Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
F(s)=\frac{56 s^{2}+112 s+5.000}{s\left(s^{2}+14 s+625\right)}.

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{56 s^{2}+112 s+5.000}{s\left(s^{2}+14 s+625\right)}
e pede para determinar f(t), a transformada inversa de Laplace de F(s). Informações relevantes fornecidas:
\text{polos: } s=0 \quad\text{e}\quad s^2+14s+625=0.
Não há outras imagens ou tabelas. A tarefa é encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Vamos decompor F(s) em frações parciais do tipo
\frac{56 s^{2}+112 s+5.000}{s\left(s^{2}+14 s+625\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B s+C}{s^{2}+14 s+625}.
Multiplicando ambos os lados por s\left(s^{2}+14 s+625\right) obtemos a identidade polinomial
56 s^{2}+112 s+5.000 = A\left(s^{2}+14 s+625\right)+(B s+C)s.
Vamos expandir o lado direito e agrupar termos:
A s^{2}+14A s+625A + B s^{2}+ C s = (A+B)s^{2} + (14A + C)s + 625A.
Igualando coeficientes dos polinômios em s temos o sistema
\begin{cases} A + B = 56,\\[4pt] 14A + C = 112,\\[4pt] 625A = 5.000. \end{cases}]

Passo 3

Resolvendo o último equação primeiro:
625A = 5.000 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{5.000}{625}=8.
Com A=8,
B = 56 - A = 56 - 8 = 48,
C = 112 - 14A = 112 - 14\cdot 8 = 112 - 112 = 0.
Portanto a decomposição ficou
F(s)=\frac{8}{s}+\frac{48 s}{s^{2}+14 s+625}.

Passo 4

Para inverter a segunda fração, é conveniente completar o quadrado no denominador:
s^{2}+14 s+625 = (s+7)^{2} + 625 - 49 = (s+7)^{2} + 576 = (s+7)^{2} + 24^{2}.
Agora escrevemos o numerador 48s em função de s+7:
48s = 48(s+7) - 48\cdot 7 = 48(s+7) - 336.
Assim
\frac{48 s}{s^{2}+14 s+625}=\frac{48(s+7)}{(s+7)^{2}+24^{2}} - \frac{336}{(s+7)^{2}+24^{2}}.

Passo 5

Lembrete das transformadas inversas padrão (válidas para t\ge 0):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+\omega^{2}}\right\}=e^{-a t}\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}}\right\}=e^{-a t}\sin(\omega t).
No nosso caso a=7 e \omega=24. Aplicando termo a termo a F(s)=\dfrac{8}{s}+\dfrac{48(s+7)}{(s+7)^{2}+24^{2}}-\dfrac{336}{(s+7)^{2}+24^{2}} obtemos:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{8}{s}\right\}=8,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{48(s+7)}{(s+7)^{2}+24^{2}}\right\}=48\,e^{-7t}\cos(24t),
e para o último termo note que 336=14\cdot24, então
\frac{336}{(s+7)^{2}+24^{2}} = 14\cdot\frac{24}{(s+7)^{2}+24^{2}},
portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{336}{(s+7)^{2}+24^{2}}\right\}=14\,e^{-7t}\sin(24t).
Com o sinal negativo presente, esse termo aparece subtraído.

Passo 6

Somando as inversas de todos os termos, a função no tempo é
f(t)=8 + 48\,e^{-7t}\cos(24t) - 14\,e^{-7t}\sin(24t),\qquad t\ge 0.

Resposta

f(t)=8 + e^{-7t}\bigl(48\cos(24t)-14\sin(24t)\bigr),\;t\ge 0.

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