Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
\quad F(s)=\frac{18 s^{2}+66 s+54}{(s+1)(s+2)(s+3)}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
Dado
F(s)=\frac{18 s^{2}+66 s+54}{(s+1)(s+2)(s+3)},
é pedido encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Informações relevantes extraídas do enunciado: o numerador é o polinômio 18 s^{2}+66 s+54 e o denominador está fatorado em (s+1)(s+2)(s+3). A função F(s) é uma função racional própria (grau do numerador =2, do denominador =3), então é adequado usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática).
Vamos usar decomposição em frações parciais porque temos um quociente de polinômios com denominador fatorado em fatores lineares distintos; depois invertimos a transformada termo a termo usando a tabela básica de Laplace. Regra básica que usaremos:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a}\quad\text{para } \Re(s)>-a.
Isso significa que, se obtermos um termo da forma \dfrac{A}{s+a} em F(s), a inversa é A e^{-a t}. Aqui s é a variável do domínio de Laplace e t é a variável de tempo (domínio original).

Passo 3

Montar a decomposição em frações parciais.
Assumimos
\frac{18 s^{2}+66 s+54}{(s+1)(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)(s+3) obtemos a igualdade de polinômios
18 s^{2}+66 s+54 = A(s+2)(s+3) + B(s+1)(s+3) + C(s+1)(s+2).

Passo 4

Calcular A, B e C pelo método “cover-up” (valores diretos) — passo a passo das contas.
Tomamos valores de s que anulam cada fator para isolar as constantes.
Para s=-1:
18(-1)^{2}+66(-1)+54 = 18-66+54=6.
No lado direito só fica A(s+2)(s+3) avaliado em s=-1: ( -1+2)(-1+3)=1\cdot2=2. Logo
2A=6 \implies A=3.
Para s=-2:
18(-2)^{2}+66(-2)+54 = 18\cdot4-132+54=72-132+54=-6.
No lado direito só fica B(s+1)(s+3) avaliado em s=-2: (-2+1)(-2+3)=(-1)\cdot1=-1. Logo
-1\cdot B = -6 \implies B=6.
Para s=-3:
18(-3)^{2}+66(-3)+54 = 18\cdot9-198+54=162-198+54=18.
No lado direito só fica C(s+1)(s+2) avaliado em s=-3: (-3+1)(-3+2)=(-2)\cdot(-1)=2. Logo
2C=18 \implies C=9.

Passo 5

Escrever a decomposição encontrada e inverter cada termo usando a propriedade básica da transformada de Laplace.
A decomposição é
F(s)=\frac{3}{s+1}+\frac{6}{s+2}+\frac{9}{s+3}.
Aplicando a inversa de Laplace termo a termo — lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t} — obtemos
f(t)=3e^{-1\cdot t}+6e^{-2\cdot t}+9e^{-3\cdot t},\qquad t\ge 0.
Se quiser conferir (checagem rápida), somando os numeradores ao recompor a fração dá exatamente 18 s^{2}+66 s+54, então os coeficientes estão corretos.

Resposta

f(t)=3e^{-t}+6e^{-2t}+9e^{-3t}

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