Determine
para cada uma das seguintes funções:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
Dado
Dado
é pedido encontrar
tal que
. Informações relevantes extraídas do enunciado: o numerador é o polinômio
e o denominador está fatorado em
. A função
é uma função racional própria (grau do numerador
, do denominador
), então é adequado usar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática).
Vamos usar decomposição em frações parciais porque temos um quociente de polinômios com denominador fatorado em fatores lineares distintos; depois invertimos a transformada termo a termo usando a tabela básica de Laplace. Regra básica que usaremos:
Vamos usar decomposição em frações parciais porque temos um quociente de polinômios com denominador fatorado em fatores lineares distintos; depois invertimos a transformada termo a termo usando a tabela básica de Laplace. Regra básica que usaremos:
Isso significa que, se obtermos um termo da forma
em
, a inversa é
. Aqui
é a variável do domínio de Laplace e
é a variável de tempo (domínio original).
Passo 3
Montar a decomposição em frações parciais.
Assumimos
Assumimos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a igualdade de polinômios
Passo 4
Calcular
,
e
pelo método “cover-up” (valores diretos) — passo a passo das contas.
Tomamos valores de que anulam cada fator para isolar as constantes.
Tomamos valores de
Para
:
No lado direito só fica
avaliado em
:
. Logo
Para
:
No lado direito só fica
avaliado em
:
. Logo
Para
:
No lado direito só fica
avaliado em
:
. Logo
Passo 5
Escrever a decomposição encontrada e inverter cada termo usando a propriedade básica da transformada de Laplace.
A decomposição é
A decomposição é
Aplicando a inversa de Laplace termo a termo — lembrando que
— obtemos
Se quiser conferir (checagem rápida), somando os numeradores ao recompor a fração dá exatamente
, então os coeficientes estão corretos.