Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
\quad F(s)=\frac{11 s^{2}+172 s+700}{(s+2)\left(s^{2}+12 s+100\right)}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar f(t) cuja transformada de Laplace é
F(s)=\frac{11 s^{2}+172 s+700}{(s+2)\left(s^{2}+12 s+100\right)}.
Informações relevantes dadas:
  • A função F(s) está escrita como uma razão racional de polinômios em s.
  • O denominador é o produto de um fator linear (s+2) e um fator quadrático s^{2}+12s+100.
  • A tarefa é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, isto é, a transformada inversa de Laplace de F(s).
    Não vamos resolver aqui; apenas identificamos o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem detalhar cálculos ainda): faremos a decomposição em frações parciais de F(s) na forma
F(s)=\frac{A}{s+2}+\frac{B s + C}{s^{2}+12 s+100},
para então aplicar transformadas inversas conhecidas termo a termo. Vou explicar cada passo e a teoria necessária ao longo do caminho.

Passo 3

Montamos a igualdade entre numeradores (multiplicando ambos os lados por (s+2)(s^{2}+12s+100)):
11 s^{2}+172 s+700 = A\,(s^{2}+12 s+100) + (B s + C)(s+2).
Agora expandimos o lado direito para igualar coeficientes pelo mesmo grau de s.

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A s^{2} + 12A s + 100A + (B s + C)(s+2) = A s^{2} + 12A s + 100A + B s^{2} + 2B s + C s + 2C.
Agrupando termos segundo potências de s:
(A+B)s^{2} + (12A + 2B + C)s + (100A + 2C).
Comparando com o numerador original, obtemos o sistema de equações para A,B,C:
\begin{cases} A + B = 11,\\[4pt] 12A + 2B + C = 172,\\[4pt] 100A + 2C = 700. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo. Da primeira equação:
B = 11 - A.
Da terceira equação:
2C = 700 - 100A \quad\Rightarrow\quad C = 350 - 50A.
Substituímos B e C na segunda equação:
12A + 2(11-A) + (350 - 50A) = 172.
Calculando termos:
12A + 22 -2A + 350 -50A = 172 \quad\Rightarrow\quad (-40A) + 372 = 172.
Logo
-40A = -200 \quad\Rightarrow\quad A = 5.
Com A=5 temos
B = 11 - 5 = 6,
C = 350 - 50\cdot 5 = 350 - 250 = 100.

Passo 6

Assim a decomposição em frações parciais é
F(s)=\frac{5}{s+2} + \frac{6s + 100}{s^{2}+12 s+100}.
Para inverter a transformada do segundo termo, completamos o quadrado no denominador:
s^{2}+12s+100 = (s+6)^{2} + 64,
pois (s+6)^{2}=s^{2}+12s+36 e 36+64=100. Reescrevemos o numerador do segundo termo em função de (s+6):
6s+100 = 6(s+6) + (100-36) = 6(s+6) + 64.
Logo
\frac{6s+100}{s^{2}+12s+100} = \frac{6(s+6)}{(s+6)^{2}+8^{2}} + \frac{64}{(s+6)^{2}+8^{2}}.

Passo 7

Agora usamos fórmulas padrão da transformada de Laplace (e suas inversas). Recordando:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-a t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{-a t}\cos(bt).
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{-a t}\sin(bt).
  • Assim, \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{-a t}\frac{\sin(bt)}{b}.
    Aqui a é o deslocamento no eixo s (o termo que shift no expoente e^{-a t}) e b é a frequência angular da parte oscilatória (aparece em \cos(bt) e \sin(bt)).

Passo 8

Aplicamos as inversas termo a termo:
  • Para \displaystyle \frac{5}{s+2} temos \displaystyle 5 e^{-2t}.
  • Para \displaystyle \frac{6(s+6)}{(s+6)^{2}+8^{2}} usamos a segunda fórmula com a=6 e b=8, obtendo \displaystyle 6 e^{-6t}\cos(8t).
  • Para \displaystyle \frac{64}{(s+6)^{2}+8^{2}} usamos a última fórmula: \displaystyle 64\cdot e^{-6t}\frac{\sin(8t)}{8} = 8 e^{-6t}\sin(8t).
Somando os termos obtemos a função no tempo:
f(t)=5 e^{-2t} + 6 e^{-6t}\cos(8t) + 8 e^{-6t}\sin(8t),\quad t\ge 0.

Resposta

f(t)=5 e^{-2t} + 6 e^{-6t}\cos(8t) + 8 e^{-6t}\sin(8t),\quad t\ge 0

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