A função F(s) está escrita como uma razão racional de polinômios em s.
O denominador é o produto de um fator linear (s+2) e um fator quadrático s^{2}+12s+100.
A tarefa é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, isto é, a transformada inversa de Laplace de F(s).
Não vamos resolver aqui; apenas identificamos o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Estratégia de resolução (sem detalhar cálculos ainda): faremos a decomposição em frações parciais de F(s) na forma
F(s)=\frac{A}{s+2}+\frac{B s + C}{s^{2}+12 s+100},
para então aplicar transformadas inversas conhecidas termo a termo. Vou explicar cada passo e a teoria necessária ao longo do caminho.
Passo 3
Montamos a igualdade entre numeradores (multiplicando ambos os lados por (s+2)(s^{2}+12s+100)):
Assim, \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{-a t}\frac{\sin(bt)}{b}.
Aqui a é o deslocamento no eixo s (o termo que shift no expoente e^{-a t}) e b é a frequência angular da parte oscilatória (aparece em \cos(bt) e \sin(bt)).
Passo 8
Aplicamos as inversas termo a termo:
Para \displaystyle \frac{5}{s+2} temos \displaystyle 5 e^{-2t}.
Para \displaystyle \frac{6(s+6)}{(s+6)^{2}+8^{2}} usamos a segunda fórmula com a=6 e b=8, obtendo \displaystyle 6 e^{-6t}\cos(8t).
Para \displaystyle \frac{64}{(s+6)^{2}+8^{2}} usamos a última fórmula: \displaystyle 64\cdot e^{-6t}\frac{\sin(8t)}{8} = 8 e^{-6t}\sin(8t).