Determine se cada uma das seguintes integrais impróprias converge ou diverge
integral0^infty t^-2 e^t d t

Passo 1

A questão pede para analisar a convergência da integral imprópria integral0^infty t^-2e^t,dt. Vamos precisar verificar o comportamento da função integranda perto de t=0 (onde há singularidade) e quando ttoinfty (onde o domínio é não limitado).

Passo 2

Perto de t=0^+, temos e^tto1, de modo que t^-2e^tsim t^-2. Aplicando o teste da integral-p, sabemos que
integral0^varepsilont^-2,dt=limato0^+integrala^varepsilont^-2,dt =limato0^+[-t^-1]a^varepsilon =limato0^+l(-varepsilon^-1+a^-1r)=+infty
Logo, a parte de 0 a algum varepsilon>0 já diverge.

Passo 3

Para ttoinfty, note que para t>=1 vale t^2>=1, então
e^tt^2>= e^t
E sabemos que
integral1^inftye^t,dt=limbtoinfty[e^t]1^b=infty
Logo, a parte de 1 a infty também diverge.

Passo 4

Como já encontramos divergência em ambos os limites problemáticos ( 0 e infty), concluímos que a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral imprópria diverge.

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