Resolva os problemas de valor inicial.
rd yd x=y e^x y(0)=2 e

Passo 1

Beleza, então temos um problema de valor inicial aqui. O enunciado nos dá uma equação diferencial dydx = y e^x e uma condição inicial y(0) = 2e. Vamos precisar usar conhecimentos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente usando o método de separação de variáveis ou fator integrante. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação diferencial. A equação dydx = y e^x é uma equação linear de primeira ordem porque podemos escrever na forma dydx + P(x)y = Q(x), onde P(x) é uma função de x e Q(x) também.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante mu(x) é calculado pela fórmula:
mu(x) = e^integral P(x) dx
No nosso caso, reescrevendo a equação para se encaixar na forma padrão:
dydx - e^x y = 0
Aqui, P(x) = -e^x e Q(x) = 0.

Passo 4

Calculando o fator integrante:
mu(x) = e^integral -e^x dx = e^-e^x

Passo 5

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
e^-e^x dydx - e^-e^x e^x y = 0
Isso simplifica para:
ddx ( e^-e^x y ) = 0

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
e^-e^x y = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para y:
y = C e^e^x

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0) = 2e para encontrar o valor de C:
2e = C e^e^0 implies 2e = C e^1 implies C = 2e / e = 2

Resposta

A solução da equação diferencial é y = 2 e^e^x.

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