Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, então temos um problema de valor inicial aqui. O enunciado nos dá uma equação diferencial
e uma condição inicial
. Vamos precisar usar conhecimentos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente usando o método de separação de variáveis ou fator integrante. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação diferencial. A equação
é uma equação linear de primeira ordem porque podemos escrever na forma
, onde
é uma função de
e
também.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante
é calculado pela fórmula:
No nosso caso, reescrevendo a equação para se encaixar na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.