Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções, onde
é um número positivo e
é uma constante real.
Passo 1
A gente quer achar a transformada de Laplace de f(t)=t·a^{a t}, usando a definição
e o método de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, note que
. Logo o integrando fica t·e{-st}·e{a t\ln a}=t·e^{-(s - a\ln a)t}. A transformada então é
e a convergência exige Re
.
Passo 3
Agora aplicamos integração por partes escolhendo
e
. Então
e, integrando,
. O termo de fronteira é
. Como
para Re
, esse termo dá zero. O restante é
Passo 4
Por fim,
, então a transformada é
.