Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções, onde n é um número positivo e a é uma constante real.
f(t)=t a^a t

Passo 1

A gente quer achar a transformada de Laplace de f(t)=t·a^{a t}, usando a definição Lf(t)(s)=integral0^infty f(t)e^-st,dt e o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, note que a^a t=e^a tln a. Logo o integrando fica t·e{-st}·e{a t\ln a}=t·e^{-(s - a\ln a)t}. A transformada então é integral0^infty t,e^-(s - aln a)t,dt, e a convergência exige Re (s)>aln a.

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes escolhendo u=t e dv=e^-(s - aln a)tdt. Então du=dt e, integrando, v=-1s - aln ae^-(s - aln a)t. O termo de fronteira é [u v]0^infty. Como t e^-(s - aln a)tto0 para Re (s)>aln a, esse termo dá zero. O restante é
-integral0^infty v,du=-integral0^inftyl(-1s-aln ae^-(s - aln a)tr)dt=1s-aln aintegral0^infty e^-(s - aln a)tdt

Passo 4

Por fim, integral0^infty e^-(s - aln a)tdt=1s - aln a, então a transformada é 1/(s - aln a)^2.

Resposta

Lt,a^a t(s)=1(s - aln a)^2,para Re(s)>aln a.

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