Resolva os problemas de valor inicial.
y^prime prime+y^prime-2 y=2 x y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial. A gente tem a equação $ y’’ + y’ - 2y = 2x $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Isso tudo está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa, e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + y’ - 2y = 0 $. Para isso, colocamos a equação característica:
y'' + y' - 2y = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r
Portanto, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -2 $.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-2x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’ + y’ - 2y = 2x $. Como o lado direito é um polinômio de grau 1, nossa solução particular vai ter a forma de um polinômio também. Vamos supor:
yp(x)

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x)
yp'(x) = A

Passo 7

Substituindo $ y_p(x) $ e suas derivadas na equação original:
yp(x)
Simplificando:
0 + A - 2(Ax + B) = 2x

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para $ x $:
x
Para os termos constantes:
-2A = 2 Rightarrow A = -1

Passo 9

Então, a solução particular é:
yp(x) = -x - 12

Passo 10

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^-2x - x - 12

Passo 11

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, com $ y(0) = 0 $:
C1
C2 çã

Passo 12

Agora, calculamos $ y’(x) $:
y'(x)
Aplica a condição $ y’(0) = 1 $:
y'(x) = C1 e^x - 2 C2 e^-2x - 1
y'(0) = 1 çã

Passo 13

Agora, temos um sistema de equações:
  1. $ C_1 + C_2 = \frac{1}{2} $
  2. $ C_1 - 2 C_2 = 2 $
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
C1 + C2 = 12
C1 - 2 C2 = 2
Substituindo $ C_2 $ na Equação 1:
(C1 - 2 C2) - (C1 + C2) = 2 - 12

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(x) = e^x - 12 e^-2x - x - 12

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