Resolva os problemas de valor inicial.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial. A gente tem a equação $ y’’ + y’ - 2y = 2x $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Isso tudo está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa, e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + y’ - 2y = 0 $. Para isso, colocamos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
Portanto, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -2 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’ + y’ - 2y = 2x $. Como o lado direito é um polinômio de grau 1, nossa solução particular vai ter a forma de um polinômio também. Vamos supor:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
Passo 7
Substituindo $ y_p(x) $ e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para $ x $:
Para os termos constantes:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 11
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, com $ y(0) = 0 $:
Passo 12
Agora, calculamos $ y’(x) $:
Aplica a condição $ y’(0) = 1 $:
Passo 13
Agora, temos um sistema de equações:
- $ C_1 + C_2 = \frac{1}{2} $
- $ C_1 - 2 C_2 = 2 $
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo $ C_2 $ na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: