Determine se cada uma das seguintes proposições é uma tautologia, contradição ou contingência:
(p \vee q) \rightarrow p

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a proposição (p \vee q) \rightarrow p é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
Informações dadas: as letras p e q são proposições (podem ser verdadeiras ou falsas). A fórmula usa a disjunção \vee e a implicação \rightarrow. Não há mais informações no enunciado.

Passo 2

Plano de ataque (rápido e prático): vou mostrar passo a passo usando a tabela-verdade (método direto) e, em seguida, apresentar uma solução alternativa por equivalências lógicas para você entender as leis usadas. Primeiro, lembrando o que significa a implicação material: para qualquer A e B, A\rightarrow B é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; nos outros casos é verdadeira. Vamos aplicar isso à fórmula dada.

Passo 3

Construção da tabela-verdade. Listamos todas as combinações possíveis de (p,q) e calculamos p\vee q e depois (p\vee q)\rightarrow p.
  • Para p=T,\;q=T: p\vee q = T
(p\vee q)\rightarrow p = T \rightarrow T = T
  • Para p=T,\;q=F: p\vee q = T
(p\vee q)\rightarrow p = T \rightarrow T = T
  • Para p=F,\;q=T: p\vee q = T
(p\vee q)\rightarrow p = T \rightarrow F = F
  • Para p=F,\;q=F: p\vee q = F
(p\vee q)\rightarrow p = F \rightarrow F = T
A coluna final de (p\vee q)\rightarrow p é, na ordem das linhas acima, T,\,T,\,F,\,T.

Passo 4

Interpretação da tabela-verdade: como a coluna final tem pelo menos um valor falso (há uma linha com resultado F), a proposição não é uma tautologia. Como a coluna final também tem valores verdadeiros (há linhas com T), a proposição não é uma contradição. Ou seja, a fórmula assume valores verdadeiros em algumas atribuições e valores falsos em outras.

Passo 5

Solução alternativa por equivalências (útil para fazer no tempo de prova sem montar toda a tabela): transformar a implicação em disjunção e simplificar.
  1. Implicação para disjunção (lei do condicional):
(p\vee q)\rightarrow p \equiv \neg(p\vee q)\vee p.
  1. Aplicar De Morgan em \neg(p\vee q):
\neg(p\vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q,
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\neg(p\vee q)\vee p \equiv (\neg p \wedge \neg q)\vee p.
  1. Reescrever como disjunção onde p aparece primeiro:
(\neg p \wedge \neg q)\vee p \equiv p \vee (\neg p \wedge \neg q).
  1. Usar distributiva (identidade):
p \vee (\neg p \wedge \neg q) \equiv (p\vee \neg p)\wedge (p\vee \neg q).
  1. p\vee \neg p é sempre verdadeira (princípio do terceiro excluído), então isso vale T. Assim
(p\vee \neg p)\wedge (p\vee \neg q) \equiv T \wedge (p\vee \neg q) \equiv p\vee \neg q.
Portanto a fórmula é logicamente equivalente a p\vee \neg q. Essa fórmula é claramente dependente dos valores de p e q: por exemplo, para p=F,q=T vale F, e para p=T,q=F vale T. Logo a expressão original assume valores verdadeiros e falsos dependendo da atribuição — isto confirma o que vimos na tabela.

Resposta

Contingência

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