Determine se cada uma das seguintes proposições é uma tautologia, contradição ou contingência:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a proposição
é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
Informações dadas: as letras e
são proposições (podem ser verdadeiras ou falsas). A fórmula usa a disjunção
e a implicação
. Não há mais informações no enunciado.
Informações dadas: as letras
Passo 2
Plano de ataque (rápido e prático): vou mostrar passo a passo usando a tabela-verdade (método direto) e, em seguida, apresentar uma solução alternativa por equivalências lógicas para você entender as leis usadas. Primeiro, lembrando o que significa a implicação material: para qualquer
e
,
é falsa somente quando
é verdadeira e
é falsa; nos outros casos é verdadeira. Vamos aplicar isso à fórmula dada.
Passo 3
Construção da tabela-verdade. Listamos todas as combinações possíveis de
e calculamos
e depois
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
A coluna final de
é, na ordem das linhas acima,
.
Passo 4
Interpretação da tabela-verdade: como a coluna final tem pelo menos um valor falso (há uma linha com resultado
), a proposição não é uma tautologia. Como a coluna final também tem valores verdadeiros (há linhas com
), a proposição não é uma contradição. Ou seja, a fórmula assume valores verdadeiros em algumas atribuições e valores falsos em outras.
Passo 5
Solução alternativa por equivalências (útil para fazer no tempo de prova sem montar toda a tabela): transformar a implicação em disjunção e simplificar.
- Implicação para disjunção (lei do condicional):
- Aplicar De Morgan em
:
logo
- Reescrever como disjunção onde
aparece primeiro:
- Usar distributiva (identidade):
-
é sempre verdadeira (princípio do terceiro excluído), então isso vale . Assim
Portanto a fórmula é logicamente equivalente a
. Essa fórmula é claramente dependente dos valores de
e
: por exemplo, para
vale
, e para
vale
. Logo a expressão original assume valores verdadeiros e falsos dependendo da atribuição — isto confirma o que vimos na tabela.
Resposta
Contingência