Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições compostas:
Passo 1
O enunciado pede para construir a tabela-verdade da proposição composta
. \n
Informações e o que é solicitado: \n
Informações e o que é solicitado: \n
- Variáveis proposicionais:
e . Cada uma pode valer (verdadeiro) ou (falso). \n - A proposição composta é
. \n - Precisamos listar todas as combinações possíveis de valores para
e e calcular passo a passo o valor de cada subfórmula até obter o valor final da proposição para cada linha da tabela. \n
Passo 2
Mini-aula sobre os conectivos que vamos usar (bem mastigado): \n
- Implicação
: \n -
.\n -
(é o único caso que dá ).\n -
.\n -
.\n
Em notação aqui usamoscomo e como ; vou usar e a seguir. \n
-
- Negação
: inverte o valor lógico: e . \n - Conjunção
: só é quando ambos os operandos são ; caso contrário é . Ou seja, ; qualquer outra combinação dá . \n
Esses são os únicos conectivos que aparecem na expressão. Vamos aplicá-los passo a passo.
Passo 3
Organizamos a tabela-verdade com colunas para cada subfórmula necessária, na ordem útil para calcular: \n
,
,
,
,
,
,
. \n
Haverá 4 linhas (todas as combinações de e
):
,
,
,
. Agora calculamos cada linha.
Haverá 4 linhas (todas as combinações de
Passo 4
Linha 1:
,
. \n
- Calcule
. Como , temos . \n - Calcule
. Invertendo dá . \n - Calcule
. Invertendo dá . \n - Calcule
. Temos e ; . Então . \n - Calcule a fórmula final
. É . Pela tabela da implicação, . \n
Resultado da linha 1: final.
Passo 5
Linha 2:
,
. \n
-
: (caso que torna a implicação falsa). \n -
: inverte para . Então . \n -
: inverte para . Então . \n -
: e então . Logo . \n - Fórmula final:
é , que vale . \n
Resultado da linha 2: final.
Passo 6
Linha 3:
,
. \n
-
: . \n -
: inverte para . Então . \n -
: inverte para . Então . \n -
: e então . \n - Fórmula final:
. \n
Resultado da linha 3: final.
Passo 7
Linha 4:
,
. \n
-
: . \n -
: inverte para . \n -
: inverte para . \n -
: e então . \n - Fórmula final:
. \n
Resultado da linha 4: final.
Passo 8
Conclusão: em todas as quatro linhas a coluna final
vale
. Portanto a proposição composta é verdadeira para todas as combinações de valores de
e
— ou seja, é uma tautologia. \n
A tabela completa com todas as colunas intermediárias já foi calculada linha a linha; abaixo deixo a tabela consolidada como resposta final.
A tabela completa com todas as colunas intermediárias já foi calculada linha a linha; abaixo deixo a tabela consolidada como resposta final.