Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições compostas:
\neg(p \rightarrow q) \rightarrow(p \wedge \neg q)

Passo 1

O enunciado pede para construir a tabela-verdade da proposição composta \neg(p \rightarrow q) \rightarrow (p \wedge \neg q). \n
Informações e o que é solicitado: \n
  • Variáveis proposicionais: p e q. Cada uma pode valer V (verdadeiro) ou F (falso). \n
  • A proposição composta é \neg(p \rightarrow q) \rightarrow (p \wedge \neg q). \n
  • Precisamos listar todas as combinações possíveis de valores para p e q e calcular passo a passo o valor de cada subfórmula até obter o valor final da proposição para cada linha da tabela. \n

Passo 2

Mini-aula sobre os conectivos que vamos usar (bem mastigado): \n
  • Implicação \rightarrow: \n
    • \;T \rightarrow T = T.\n
    • \;T \rightarrow F = F (é o único caso que dá F).\n
    • \;F \rightarrow T = T.\n
    • \;F \rightarrow F = T.\n
      Em notação aqui usamos T como V e F como F; vou usar V e F a seguir. \n
  • Negação \neg: inverte o valor lógico: \neg V = F e \neg F = V. \n
  • Conjunção \wedge: só é V quando ambos os operandos são V; caso contrário é F. Ou seja, V \wedge V = V; qualquer outra combinação dá F. \n
    Esses são os únicos conectivos que aparecem na expressão. Vamos aplicá-los passo a passo.

Passo 3

Organizamos a tabela-verdade com colunas para cada subfórmula necessária, na ordem útil para calcular: \n
p , q , p \rightarrow q , \neg(p \rightarrow q) , \neg q , p \wedge \neg q , \neg(p \rightarrow q) \rightarrow (p \wedge \neg q). \n
Haverá 4 linhas (todas as combinações de p e q): (V,V), (V,F), (F,V), (F,F). Agora calculamos cada linha.

Passo 4

Linha 1: p=V, q=V. \n
  • Calcule p \rightarrow q. Como V \rightarrow V = V, temos p \rightarrow q = V. \n
  • Calcule \neg(p \rightarrow q). Invertendo V \neg(p \rightarrow q) = F. \n
  • Calcule \neg q. Invertendo q=V \neg q = F. \n
  • Calcule p \wedge \neg q. Temos p=V e \neg q=F; V \wedge F = F. Então p \wedge \neg q = F. \n
  • Calcule a fórmula final \neg(p \rightarrow q) \rightarrow (p \wedge \neg q). É F \rightarrow F. Pela tabela da implicação, F \rightarrow F = V. \n
    Resultado da linha 1: final = V.

Passo 5

Linha 2: p=V, q=F. \n
  • p \rightarrow q: V \rightarrow F = F (caso que torna a implicação falsa). \n
  • \neg(p \rightarrow q): inverte F para V. Então \neg(p \rightarrow q) = V. \n
  • \neg q: inverte q=F para V. Então \neg q = V. \n
  • p \wedge \neg q: p=V e \neg q=V então V \wedge V = V. Logo p \wedge \neg q = V. \n
  • Fórmula final: \neg(p \rightarrow q) \rightarrow (p \wedge \neg q) é V \rightarrow V, que vale V. \n
    Resultado da linha 2: final = V.

Passo 6

Linha 3: p=F, q=V. \n
  • p \rightarrow q: F \rightarrow V = V. \n
  • \neg(p \rightarrow q): inverte V para F. Então \neg(p \rightarrow q) = F. \n
  • \neg q: inverte q=V para F. Então \neg q = F. \n
  • p \wedge \neg q: p=F e \neg q=F então F \wedge F = F. \n
  • Fórmula final: F \rightarrow F = V. \n
    Resultado da linha 3: final = V.

Passo 7

Linha 4: p=F, q=F. \n
  • p \rightarrow q: F \rightarrow F = V. \n
  • \neg(p \rightarrow q): inverte V para F. \n
  • \neg q: inverte q=F para V. \n
  • p \wedge \neg q: p=F e \neg q=V então F \wedge V = F. \n
  • Fórmula final: F \rightarrow F = V. \n
    Resultado da linha 4: final = V.

Passo 8

Conclusão: em todas as quatro linhas a coluna final \neg(p \rightarrow q) \rightarrow (p \wedge \neg q) vale V. Portanto a proposição composta é verdadeira para todas as combinações de valores de p e q — ou seja, é uma tautologia. \n
A tabela completa com todas as colunas intermediárias já foi calculada linha a linha; abaixo deixo a tabela consolidada como resposta final.

Resposta

p\quad q\quad p\rightarrow q\quad \neg(p\rightarrow q)\quad \neg q\quad p\wedge\neg q\quad \neg(p\rightarrow q)\rightarrow(p\wedge\neg q)\n
V\quad V\quad V\quad F\quad F\quad F\quad V\n
V\quad F\quad F\quad V\quad V\quad V\quad V\n
F\quad V\quad V\quad F\quad F\quad F\quad V\n
F\quad F\quad V\quad F\quad V\quad F\quad V

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