Determine se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Caso ela convirja, determine seu limite. Justifique sua resposta!
cos (n pi)n.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
an = cos(npi)n.
O conteúdo aqui é estudo de limites de sequências e aplicação do Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
cos(npi) = (-1)^n
Logo podemos escrever
an = (-1)^nn

Passo 3

Observe que o valor absoluto de an é
l|anr| = 1n
Como sabemos que
limntoinfty1n = 0,
ficamos com uma sequência cujo termo em valor absoluto tende a zero.

Passo 4

Note ainda que, para todo n>=1, vale
-1n ;<=; (-1)^nn ;<=; 1n
Os limites das sequências -1/n e 1/n são ambos 0. Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que
limntoinftyan = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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