Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty e^tg^-1 nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série positiva
sumn=1^inftye^tg^-1nn^2+1
Aqui usamos conceitos de séries numéricas, em especial o teste de comparação limite e a convergência de séries do tipo 1/n^p (série p com p>1).

Passo 2

Observamos o comportamento de tg^-1n quando ntoinfty:
limntoinftytg^-1n = pi2
Logo
limntoinftye^tg^-1n = e^pi/2,
um número finito e estritamente positivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da comparação limite com a série p-série sum 1/n^2, que sabemos convergir ( p=2>1). Calculamos
L =limntoinfty e^tg^-1nn^2+1 1n^2 =limntoinfty e^tg^-1n,n^2n^2+1 =e^pi/2cdot1 =e^pi/2
Como 0< L<infty, a série original e sum 1/n^2 têm o mesmo comportamento de convergência.

Resposta

A série
sumn=1^inftye^tg^-1nn^2+1
converge (por comparação limite com a série p-série de p=2).

Exercícios relacionados