Determine a inclinação da reta tangente em ( -1,1,5 ) da curva de interseção da superfície z=x^2+4 y^2 e
o plano x=-1

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente, no ponto (-1,1,5), à curva gerada pela interseção da superfície
z = x^2 + 4y^2
com o plano
x = -1
Para curvas espaço, uma forma prática é parametrizar a curva e calcular o vetor tangente; a inclinação (isto é, o coeficiente angular) em coordenadas y z será dado por tfracdzdy no ponto.

Passo 2

Como x=-1 é constante, a curva de interseção satisfaz
z = (-1)^2 + 4y^2 = 1 + 4y^2
Portanto podemos usar y como parâmetro t. Definimos:
r(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r) = l(-1,,t,,1 + 4t^2r)

Passo 3

O vetor tangente é r'(t). Calculando a derivada componente a componente:
r'(t) = l(0,;1,;8tr)
No ponto (-1,1,5) corresponde a t=1, logo
r'(1) = (0,,1,,8)

Passo 4

Em coordenadas y z, a inclinação da reta tangente é
De<a zDe<a y = 81 = 8

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva de interseção em (-1,1,5) é 8.

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