Determine se cada uma das seguintes sequências é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. Também determine se a sequência é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
e pede para determinar sua monotonicidade (crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente) e sua limitação (superior, inferior ou ambas).
Passo 2
Para ver se
é crescente ou decrescente, analisamos a diferença entre termos consecutivos:
Passo 3
Agora simplificamos essa diferença:
Como o denominador é sempre positivo, segue que
para todo
, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Para verificar a limitação, note que para todo
vale
logo a sequência é limitada inferiormente por
. O maior valor ocorre em
, pois daí
então ela é limitada superiormente por
. Sendo assim, é limitada em ambos os sentidos.
Resposta
A sequência é decrescente, limitada superiormente por
e limitada inferiormente por
, portanto é limitada.