Determine o valor dos seguintes limites trigonométricos
lim x 1 1+cos pi x(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto11+cos(pi x)(x-1)^2
Este é um limite do tipo 0/0, pois cos(picdot1)=cospi=-1 faz o numerador 1+(-1)=0. Vamos tratar essa forma indeterminada usando uma mudança de variável e expansão em série (ou equivalência de pequeno à ordem relevante).

Passo 2

Defina
h = x-1,
de modo que x=1+h e hto0. Substituindo na expressão, o limite vira
limhto01+cosl(pi(1+h)r)h^2

Passo 3

Observe que
cosl(pi(1+h)r)=cos(pi+pi h)=-cos(pi h)
Logo o numerador fica
1+cos(pi(1+h))=1-cos(pi h)
Para pi h pequeno, usamos a expansão de Taylor de segunda ordem:
cos(pi h)=1-(pi h)^22+o(h^2) Longrightarrow 1-cos(pi h)=(pi h)^22+o(h^2)
Assim a fração é equivalente a
1-cos(pi h)h^2 =(pi h)^22+o(h^2)h^2 =pi^22+underbraceo(h^2)h^2to0

Passo 4

Portanto o limite vale
limxto11+cos(pi x)(x-1)^2 =pi^22

Resposta

pi^22

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