Determine se cada uma das seguintes sequências é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. Também determine se a sequência é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para decidir sua monotonicidade (crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente) e verificar se ela é limitada inferiormente, superiormente ou totalmente limitada.
Passo 2
Para entender a monotonicidade, separemos os termos pares e ímpares. Seja
:
Como
e
, temos
Além disso, para todo
,
isto é, a sequência sobe ao passar de um índice ímpar para o par seguinte, e cai ao passar do par para o ímpar seguinte.
Passo 3
Como há subidas e descidas alternadas, não se satisfaz nem
para todo
(crescente), nem
para todo
(decrescente). Logo também não é “não decrescente” (
para todo
) nem “não crescente” (
para todo
). Em resumo, não é monótona.
Passo 4
Para a limitação note-se:
- Quando
(par), - Quando
(ímpar),
Logo
para todo
. Isso mostra que a sequência é limitada inferiormente (por
), limitada superiormente (por
) e, portanto, totalmente limitada.
Resposta
A sequência
não é crescente nem decrescente (nem “não crescente” nem “não decrescente”), e é limitada superiormente por
, limitada inferiormente por
(logo limitada).