Determine se cada uma das seguintes sequências é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. Também determine se a sequência é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada.
1+(-1)^nn^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 1 + (-1)^nn^2, ninN,
e pede para decidir sua monotonicidade (crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente) e verificar se ela é limitada inferiormente, superiormente ou totalmente limitada.

Passo 2

Para entender a monotonicidade, separemos os termos pares e ímpares. Seja kinN:
a2k-1 = 1 - 1(2k-1)^2, a2k = 1 + 1(2k)^2
Como 1(2k-1)^2>0 e 1(2k)^2>0, temos
a2k-1 < 1 < a2k
Além disso, para todo k,
a2k-1 < a2k e a2k > a2k+1,
isto é, a sequência sobe ao passar de um índice ímpar para o par seguinte, e cai ao passar do par para o ímpar seguinte.

Passo 3

Como há subidas e descidas alternadas, não se satisfaz nem
,an < an+1 para todo n (crescente), nem
,an > an+1 para todo n (decrescente). Logo também não é “não decrescente” ( an<= an+1 para todo n) nem “não crescente” ( an>= an+1 para todo n). Em resumo, não é monótona.

Passo 4

Para a limitação note-se:
  • Quando n=2k (par), a2k = 1 + 1(2k)^2<= 1 + 14 = 54
  • Quando n=2k-1 (ímpar), a2k-1 = 1 - 1(2k-1)^2>= 1 - 1 = 0
Logo 0 <= an <= tfrac54 para todo n. Isso mostra que a sequência é limitada inferiormente (por 0), limitada superiormente (por 5/4) e, portanto, totalmente limitada.

Resposta

A sequência
,1 + (-1)^n/n^2 não é crescente nem decrescente (nem “não crescente” nem “não decrescente”), e é limitada superiormente por 5/4, limitada inferiormente por 0 (logo limitada).

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