Determine se cada uma das seguintes séries abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente (Use qualquer Teste ou Teorema que ache apropriado para justificar sua resposta):
\sum_{k=2}^{\infty}(k-1)^{2} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{1}{k-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}(k-1)^{2}\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{1}{k-1}\bigr).
O conteúdo principal é usar o comportamento assintótico de \sin(x) quando x\to0 e aplicar o Teste da Divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge).

Passo 2

Facilitamos a análise reindexando. Seja n=k-1. Então k=2,3,4,\dots corresponde a n=1,2,3,\dots, e
\sum_{k=2}^{\infty}(k-1)^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac{1}{k-1}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr).

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de \sin(x) perto de zero:
\sin(x)=x-\tfrac{x^{3}}{6}+O(x^{5}) \quad\Longrightarrow\quad \sin^{2}(x)=x^{2}+O(x^{4}).
Substituindo x=\tfrac1n vem
\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac1n\Bigr)=\frac1{n^{2}}+O\!\Bigl(\tfrac1{n^{4}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad n^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac1n\Bigr) =1+O\!\Bigl(\tfrac1{n^{2}}\Bigr).
Logo
\lim_{n\to\infty}n^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac1n\Bigr)=1\neq0.

Passo 4

Pelo Teste da Divergência, se o termo geral a_{n} não tende a zero, a série \sum a_{n} diverge. Aqui
a_{n}=n^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\tfrac1n\Bigr) \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq0,
portanto a série diverge.

Resposta

A série é divergente, logo não é nem absolutamente convergente nem condicionalmente convergente.

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