Determine se cada uma das seguintes séries abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente (Use qualquer Teste ou Teorema que ache apropriado para justificar sua resposta):
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2 k)!}{3^{3 k}(k!)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k)!}{3^{3k}\,(k!)^{2}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Estamos no contexto de séries de termos positivos, então basta verificar a convergência (o que equivale à convergência absoluta). Vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Denote o termo geral por
\displaystyle a_{k} = \frac{(2k)!}{3^{3k}\,(k!)^{2}}.
Então
\displaystyle a_{k+1} = \frac{(2k+2)!}{3^{3(k+1)}\,((k+1)!)^{2}}.
O quociente é
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{(2k+2)!}{(2k)!}\;\frac{3^{3k}}{3^{3k+3}}\;\frac{(k!)^{2}}{((k+1)!)^{2}} = \frac{(2k+1)(2k+2)}{27\,(k+1)^{2}}.
Para k\to\infty,
\frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)^{2}} = \frac{4k^2+6k+2}{k^2+2k+1} \longrightarrow 4,
logo
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{4}{27} < 1.
Pelo Teste da Razão, a série converge.

Passo 3

Como todos os termos são positivos, a convergência que encontramos é, na verdade, convergência absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados