Determine se cada uma das seguintes séries abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente (Use qualquer Teste ou Teorema que ache apropriado para justificar sua resposta):
\sum_{\theta=1}^{\infty} \frac{\cos \theta+7 \operatorname{sen} \theta^{2}}{\theta^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{\theta=1}^{\infty} \frac{\cos \theta + 7 \sin(\theta^2)}{\theta^4}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo aqui é teste de convergência absoluta e comparação com séries p-séries.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos
\sum_{\theta=1}^{\infty} \left|\frac{\cos \theta + 7 \sin(\theta^2)}{\theta^4}\right| = \sum_{\theta=1}^{\infty} \frac{\bigl|\cos \theta + 7 \sin(\theta^2)\bigr|}{\theta^4}.
Usando desigualdade triangular e o fato de \bigl|\cos\theta\bigr|\le1 e \bigl|\sin(\theta^2)\bigr|\le1, temos
\bigl|\cos \theta + 7 \sin(\theta^2)\bigr| \le |\cos\theta| + 7\,|\sin(\theta^2)| \le 1 + 7 = 8.
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\sum_{\theta=1}^{\infty} \left|\frac{\cos \theta + 7 \sin(\theta^2)}{\theta^4}\right| \le \sum_{\theta=1}^{\infty} \frac{8}{\theta^4} = 8 \sum_{\theta=1}^{\infty} \frac{1}{\theta^4}.
Como a série \sum_{\theta=1}^{\infty}1/\theta^4 é convergente (p-série com p=4>1), a série de termos absolutos converge.

Passo 3

Concluímos que a série dada converge absolutamente, pois a série dos valores absolutos é finita.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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