Determine se cada uma das seguintes séries abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente (Use qualquer Teste ou Teorema que ache apropriado para justificar sua resposta):
\sum_{z=1}^{\infty} \frac{z!2^{z}}{z^{z}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tipo de convergência da série
\sum_{z=1}^{\infty} \frac{z! \,2^{z}}{z^{z}}.
Perceba que todos os termos são não negativos, então basta estudar a convergência (e, por conseguinte, a convergência absoluta). Vamos usar o Teste da Razão de D’Alembert.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
a_{z} = \frac{z!\,2^{z}}{z^{z}}.
Queremos calcular o quociente
\frac{a_{z+1}}{a_{z}}.

Passo 3

Começamos por escrever a_{z+1} e dividir por a_{z}:
a_{z+1} = \frac{(z+1)!\,2^{\,z+1}}{(z+1)^{\,z+1}},
então
\frac{a_{z+1}}{a_{z}} = \frac{\displaystyle\frac{(z+1)!\,2^{\,z+1}}{(z+1)^{\,z+1}}} {\displaystyle\frac{z!\,2^{z}}{z^{z}}} = 2\;\frac{(z+1)\,z^{z}}{(z+1)^{\,z+1}} = 2\;\biggl(\frac{z}{z+1}\biggr)^{\!z}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando z\to\infty:
\lim_{z\to\infty}\frac{a_{z+1}}{a_{z}} =2\;\lim_{z\to\infty}\biggl(\frac{1}{1+\tfrac1z}\biggr)^{\!z} =2\,e^{-1} =\frac{2}{e}\,<1.
Como o limite da razão é menor que 1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados