Determine se cada uma das seguintes séries abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente (Use qualquer Teste ou Teorema que ache apropriado para justificar sua resposta):
\sum_{h=1}^{\infty} \frac{(-1)^{1-h}}{\sqrt{h^{2}+2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{h=1}^{\infty}\frac{(-1)^{1-h}}{\sqrt{h^{2}+2}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: um para verificar a convergência absoluta (comparação com a série harmônica) e outro (o Teste de Leibniz) para a convergência alternada.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, olhamos para
\sum_{h=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{1-h}}{\sqrt{h^{2}+2}}\right| =\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{h^{2}+2}}.
Note que \sqrt{h^{2}+2}\le \sqrt{h^{2}+h^{2}}=h\sqrt{2}, logo
\frac{1}{\sqrt{h^{2}+2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}\,h}.
Como \sum 1/( \sqrt{2}\,h) diverge (é um múltiplo da série harmônica), a comparação mostra que
\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{h^{2}+2}}
também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o Teste de Leibniz para séries alternadas. Defina
u_h = \frac{1}{\sqrt{h^{2}+2}}.
Observamos que
  1. u_h>0 para todo h.
  2. u_{h+1} = 1/\sqrt{(h+1)^{2}+2} <1/\sqrt{h^{2}+2} = u_h, ou seja, (u_h) é decrescente.
  3. \lim_{h\to\infty}u_h = \lim_{h\to\infty}\frac{1}{\sqrt{h^{2}+2}} = 0.
    Pelo Teste de Leibniz, isso garante que
\sum_{h=1}^{\infty}(-1)^{1-h}\,u_h
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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