Determine se cada uma das seguintes séries abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente (Use qualquer Teste ou Teorema que ache apropriado para justificar sua resposta):
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}(2 k)!}{7^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{(2k)!}{7^k}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o Teste da Razão para a convergência absoluta e o Teste do Termo Geral para verificar se converge condicionalmente.

Passo 2

Analisamos a série de termos não negativos
\sum_{k=0}^{\infty}b_k \quad\text{com}\quad b_k=\frac{(2k)!}{7^k}.
Pelo Teste da Razão, calculamos
L=\lim_{k\to\infty}\frac{b_{k+1}}{b_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{(2k+2)!}{7^{\,k+1}}}{\frac{(2k)!}{7^k}} =\lim_{k\to\infty}\frac{(2k+2)(2k+1)}{7} =\infty>1.
Como L>1, a série \sum b_k diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para convergência condicional, é necessário que o termo geral da série tenda a zero:
a_k = (-1)^{k+1}\frac{(2k)!}{7^k}.
Mas como (2k)!/7^k\to\infty quando k\to\infty, temos
\lim_{k\to\infty}a_k\neq 0.
Pelo Teste do Termo Geral, a série não pode convergir se seu termo geral não tende a zero.

Resposta

A série diverge.

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