Encontre a série de Fourier de cossenos da função par de período 2 definida no intervalo [0,1] por y(t)=t^2

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de cossenos (meia-onda par) de período 2 da função definida em [0,1] por
y(t)=t^2,
ou seja, estendemos y(t) de forma par a [-1,1] e repetimos com período 2. Para construir essa série precisamos usar a expansão de meia-onda em cossenos com L=1.

Passo 2

O termo constante a0 vem da fórmula
a0 = 2Lintegral0^Ly(t),dt
com L=1. Logo
a0 = 2integral0^1t^2,dt = 2cdot13 = 23

Passo 3

Os coeficientes gerais an (para n>=1) vêm de
an = 2Lintegral0^Ly(t)cosl(npi tLr),dt
que, com L=1, fica
an = 2integral0^1t^2cos(npi t),dt

Passo 4

Vamos calcular
I = integral0^1t^2cos(npi t),dt
  1. Integramos por partes com u=t^2, dv=cos(npi t),dt, obtendo
I = t^2npisin(npi t)|0^1 - 2npiintegral0^1tsin(npi t),dt
O termo de fronteira some pois sin(npi)=0.
2. Chamando
J=integral0^1tsin(npi t),dt,
fazemos nova partes com u=t, dv=sin(npi t),dt, e descobrimos
J = -(-1)^nnpi
Assim
I = -2npiJ = 2(-1)^nn^2pi^2
Logo
an = 2I = 4(-1)^nn^2pi^2

Passo 5

Montando a série de Fourier de cossenos com
y(t) = a02 + sumn=1^inftyancos(npi t),
temos
a02 = 13, an = 4(-1)^nn^2pi^2

Resposta

y(t)=t^2 =13 ;+;sumn=1^infty4(-1)^nn^2pi^2,cosl(npi tr)

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