Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
3^n-n

Passo 1

Temos a sequência an=3^n-n. O conteúdo aqui é análise de sequência: vamos ver se ela é crescente, decrescente ou não-monótona, se é limitada e se converge ou diverge. Para isso, precisamos usar a definição de sequência crescente/decrescente e conceitos de limites e de sequência limitada.

Passo 2

Uma sequência (an) é crescente se an+1>= an para todo n. Calculamos a diferença entre termos sucessivos:
an+1-an = l(3^n+1 - (n+1)r) - l(3^n - nr) = 3cdot3^n -3^n -1 = 2cdot3^n -1

Passo 3

Como para todo n>=1 temos 2cdot3^n -1>=2cdot3^1-1=5>0, segue que an+1-an>0. Logo, a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Para ver se é limitada, analisamos limites inferiores e superiores. Como a1=3^1-1=2 e a sequência é crescente, temos an>=2 para todo n, ou seja, é limitada inferiormente. Por outro lado, 3^n cresce sem limite, logo an=3^n-nto+infty, não há limite superior finito, então não é limitada superiormente.

Passo 5

Uma sequência que não tem limite finito diverge. Aqui anto+infty, portanto ela é divergente.

Resposta

Sequência estritamente crescente, limitada inferiormente (por 2), não limitada superiormente e divergente (vai a +∞).

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