Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
Passo 1
Temos a sequência
. O conteúdo aqui é análise de sequência: vamos ver se ela é crescente, decrescente ou não-monótona, se é limitada e se converge ou diverge. Para isso, precisamos usar a definição de sequência crescente/decrescente e conceitos de limites e de sequência limitada.
Passo 2
Uma sequência
é crescente se
para todo
. Calculamos a diferença entre termos sucessivos:
Passo 3
Como para todo
temos
, segue que
. Logo, a sequência é estritamente crescente.
Passo 4
Para ver se é limitada, analisamos limites inferiores e superiores. Como
e a sequência é crescente, temos
para todo
, ou seja, é limitada inferiormente. Por outro lado,
cresce sem limite, logo
, não há limite superior finito, então não é limitada superiormente.
Passo 5
Uma sequência que não tem limite finito diverge. Aqui
, portanto ela é divergente.
Resposta
Sequência estritamente crescente, limitada inferiormente (por 2), não limitada superiormente e divergente (vai a +∞).