Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
Passo 1
Na primeira etapa, vamos resumir o enunciado: temos a sequência
e precisamos determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona, se é limitada superiormente ou inferiormente, e se é convergente ou divergente. Para isso, usaremos conceitos de subsequências, derivadas para monotonicidade e estimativas de limite para verificar a limitabilidade.
Passo 2
Para analisar a convergência, observamos que a sequência alterna sinal, então consideramos as subsequências pares e ímpares:
Passo 3
Calculamos os limites dessas subsequências:
Para a subsequência par:
Para a subsequência par:
Para a subsequência ímpar:
Passo 4
Como esses limites são diferentes, concluímos que a sequência não converge, isto é, é divergente.
Passo 5
Para a monotonicidade, examinamos cada subsequência por derivada contínua: definimos
. Sua derivada é
logo a subsequência
é crescente. Definimos também
. Sua derivada é
portanto
é decrescente. Assim a sequência geral não é monotônica (nem crescente nem decrescente).
Passo 6
Para a limitada, usamos que
logo temos
para todo
, ou seja, a sequência é limitada superiormente e inferiormente.
Resposta
A sequência não é monótona, é limitada superiormente e inferiormente e é divergente.