Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(-1)^n 2 n3 n+1

Passo 1

Na primeira etapa, vamos resumir o enunciado: temos a sequência an = (-1)^n 2n3n+1 e precisamos determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona, se é limitada superiormente ou inferiormente, e se é convergente ou divergente. Para isso, usaremos conceitos de subsequências, derivadas para monotonicidade e estimativas de limite para verificar a limitabilidade.

Passo 2

Para analisar a convergência, observamos que a sequência alterna sinal, então consideramos as subsequências pares e ímpares:
a2k = (-1)^2k2(2k)3(2k)+1 = 4k6k+1,
a2k+1 = (-1)^2k+12(2k+1)3(2k+1)+1 = -4k+26k+4

Passo 3

Calculamos os limites dessas subsequências:
Para a subsequência par:
limktoinfty a2k = limktoinfty 4k6k+1 = 46 = 23
Para a subsequência ímpar:
limktoinfty a2k+1 = limktoinfty -4k+26k+4 = -46 = -23

Passo 4

Como esses limites são diferentes, concluímos que a sequência não converge, isto é, é divergente.

Passo 5

Para a monotonicidade, examinamos cada subsequência por derivada contínua: definimos f(x)=4x6x+1. Sua derivada é
f'(x)=4(6x+1)-4xcdot6(6x+1)^2=4(6x+1)^2>0,
logo a subsequência a2k é crescente. Definimos também g(x)=-4x+26x+4. Sua derivada é
g'(x)=-1(3x+2)^2<0,
portanto a2k+1 é decrescente. Assim a sequência geral não é monotônica (nem crescente nem decrescente).

Passo 6

Para a limitada, usamos que
|an|=2n3n+1<2n3n=23,
logo temos -tfrac23 para todo n, ou seja, a sequência é limitada superiormente e inferiormente.

Resposta

A sequência não é monótona, é limitada superiormente e inferiormente e é divergente.

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