(a) pelo método de n-trapézios, para n=1, n=2 e n=4, ( h=1, h=0.5, h=0.25 ).
(b) Utilize os valores do item (a) para calcular integral0^1 e^-x d x pelo método de n-Simpsons com n=1 e n=2.
© Estime qual o valor de h para calcular integral0^1 e^-x d x pelo método de n-simpsons com erro menor que 10^-5 e faça o cálculo da integral. Compare a estimativa com o erro realmente obtido.
Dado: Erro com n-simpsons: |E| <= max x in[a, b]|f^(4)(x)| h^4(b-a) / 180.

Passo 1

O exercício pede para aproximar a integral I=integral0^1 e^-xdx usando a regra do trapézio para n=1,2,4 (com h=1,,0.5,,0.25), depois aplicar o método de Simpson para n=1,2 aproveitando os valores obtidos, e por fim estimar um passo h que garanta erro menor que 10^-5, calcular a integral com esse h e comparar o erro.

Passo 2

Para a regra do trapézio usamos a fórmula composta
Tn=h2l(f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r),
com f(x)=e^-x e h=(1-0)/n.
Calculamos:
T1=tfrac12[f(0)+f(1)]=0.6839397,
T2=tfrac0.52[1+2e^-0.5+e^-1]=0.6452348,
T4=tfrac0.252[1+2(e^-0.25+e^-0.5+e^-0.75)+e^-1]=0.6354093.

Passo 3

Para o método de Simpson usamos a extrapolação a partir dos Tn:
Sn=4T2n-Tn3
Assim:
S1=4T2-T13=0.6323332 e
S2=4T4-T23=0.6321341.

Passo 4

O erro máximo para Simpson é estimado por
|E|<=max[0,1]|f^(4)(x)|,h^4(b-a)180
Como f^(4)(x)=e^-x, tem-se max e^-x=1. Logo
|E|<=h^4180<=10^-5 Rightarrow h<= (1.8times10^-3)^1/4approx0.206

Passo 5

Escolhemos um h prático menor que 0.206, por exemplo h=0.125 (8 subintervalos pares). Aplicando Simpson composto:
S8=h3l(f0+f8+4sumímparesfi+2sumparesfir)approx0.6321214, í
que difere do valor exato 1-e^-1=0.6321206 por cerca de 8.1times10^-7, muito abaixo de 10^-5.

Resposta

Trapézio: T₁=0.6839397, T₂=0.6452348, T₄=0.6354093; Simpson via extrapolação: S₁=0.6323332, S₂=0.6321341; passo estimado h≤0.206, usamos h=0.125 → S₈≈0.6321214 com erro ≈8.1×10⁻⁷

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