Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
\left\{\frac{\pi^{n}}{3^{n}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = \frac{\pi^n}{3^n}
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é o estudo de limites de sequências geométricas, para o qual precisamos identificar a razão comum.

Passo 2

Observe que
a_n = \biggl(\frac{\pi}{3}\biggr)^n,
ou seja, trata-se de uma sequência geométrica de razão
r = \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Para uma sequência geométrica \bigl(r^n\bigr):
  • se |r|<1, então converge a 0;
  • se |r|=1, então não converge a um único valor finito (ou é constante);
  • se |r|>1, então diverge (em módulo tende a infinito).
Aqui \pi\approx3{,}14, logo
r = \frac{\pi}{3}>1.
Portanto \bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)^n cresce sem limite, e a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge.

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