Determine se cada sequencia converge ou diverge, se convergir calcule seu limite:
(1+1n)^nn=1^infty

Passo 1

Temos a sequência an = l(1 + tfrac1nr)^n. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência usando mudança de função (logaritmo), regra de l’Hospital e continuidade de funções elementares.

Passo 2

Para facilitar, definimos bn = ln(an) = nlnl(1+tfrac1nr). Note que podemos reescrever em forma de quociente
bn = lnl(1+tfrac1nr)1/n,

Passo 3

e ao deixar x=1/nto0^+ isso vira ln(1+x)/x, que é uma forma 0/0. Aplicando a regra de l’Hospital no limite
limxto0ln(1+x)x = limxto01/(1+x)1 = 1

Passo 4

Portanto
limntoinfty bn = 1,
e como an = e^bn e a função e^x é contínua, temos
limntoinfty an = e^lim bn = e^1 = e

Resposta

Converge e o limite é e.

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