Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-n} 8^{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série \sum_{n=1}^{\infty}3^{-n}8^{n+1}: determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular a soma. O conteúdo aqui é série geométrica.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral em forma de potência:
3^{-n}8^{n+1} = 8\cdot\frac{8^n}{3^n} = 8\left(\frac{8}{3}\right)^n.
Assim a série vira
8\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{8}{3}\right)^n,
que é uma série geométrica de razão r = 8/3.

Passo 3

Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^n convergir, é necessário que \lvert r\rvert < 1. Aqui \bigl\lvert 8/3\bigr\rvert>1, então o critério não é satisfeito e a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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