Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2n}}
e decidir se ela converge ou diverge. Como é uma série de termos positivos em que cada termo pode ser escrito como potência de uma constante, vamos identificar que se trata de uma série geométrica e usar o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos
\frac{1}{e^{2n}} = \Bigl(\frac{1}{e^2}\Bigr)^{n}.
Logo, é uma série geométrica de razão
r = \frac{1}{e^2}
e primeiro termo
a_1 = \Bigl(\frac{1}{e^2}\Bigr)^{1} = \frac{1}{e^2}.

Passo 3

O teste de convergência para séries geométricas diz que, se \lvert r\rvert<1, então
\sum_{n=1}^{\infty} a_1\,r^{\,n-1}
converge, e sua soma é
\frac{a_1}{1-r}.
Aqui temos \lvert r\rvert = 1/e^2<1, pois e^2>1. Portanto, a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma, como nosso primeiro termo é a_1=\tfrac{1}{e^2} e a razão é r=\tfrac{1}{e^2}, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{2n}} = \frac{\tfrac{1}{e^2}}{1 - \tfrac{1}{e^2}} = \frac{1/e^2}{\tfrac{e^2-1}{e^2}} = \frac{1}{e^2-1}.

Resposta

A série converge e sua soma é
\frac{1}{e^2 - 1}.

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