Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{\pi}\right)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{\pi}\right)^{n-1}
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica, que usa critério \lvert r\rvert<1 para convergência e a fórmula
S = \frac{a_{1}}{1 - r}
onde a_{1} é o primeiro termo e r a razão.

Passo 2

Identificamos o primeiro termo e a razão:
a_{1} = \left(-\frac{3}{\pi}\right)^{1-1} = 1, \quad r = -\frac{3}{\pi}.

Passo 3

Aplicamos o critério de convergência:
\lvert r\rvert = \left\lvert -\frac{3}{\pi}\right\rvert = \frac{3}{\pi}.
Como \pi\approx3,14, temos \tfrac{3}{\pi}<1, logo a série converge.

Passo 4

Calculamos a soma usando
S = \frac{a_{1}}{1 - r}
isto é,
S = \frac{1}{1 - \bigl(-\tfrac{3}{\pi}\bigr)} = \frac{1}{1 + \tfrac{3}{\pi}} = \frac{\pi}{\pi + 3}.

Resposta

A série converge e sua soma é
\frac{\pi}{\pi + 3}.

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