Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{2}{3^{n-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{2}{3^{n-1}}\Bigr)
Isso é a soma de duas séries geométricas separadas. Vamos usar o fato de que, para |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r}.

Passo 2

Separamos a série em duas partes:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n-1}}.
Em cada caso o termo geral é de forma a\,r^{\,n-1} com |r|<1, logo ambas convergem.

Passo 3

Para a primeira série temos a_1=\frac{1}{2^{1-1}}=1 e r_1=\frac12. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} =\sum_{k=0}^{\infty}1\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^k =\frac{1}{1-\tfrac12} =2.

Passo 4

Para a segunda série temos a_2=\frac{2}{3^{1-1}}=2 e r_2=\frac13. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n-1}} =\sum_{k=0}^{\infty}2\cdot\Bigl(\tfrac13\Bigr)^k =\frac{2}{1-\tfrac13} =\frac{2}{\tfrac23} =3.

Passo 5

Somando os resultados:
2+3=5.
Logo a série converge e sua soma é 5.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{2}{3^{n-1}}\Bigr)=5.

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