Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}
e, se convergente, calcular sua soma. Este problema usa o método de decomposição em frações parciais e a ideia de série telescópica, em que muitos termos se cancelam ao somar-se parcialmente.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
Ao expandir a soma telescópica, observa-se que quase todos os termos se cancelam:
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr) =\underbrace{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}}_{\text{restam no início}} \;-\;\underbrace{\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}}_{\text{restam no fim}}.