Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}
e, se convergente, calcular sua soma. Este problema usa o método de decomposição em frações parciais e a ideia de série telescópica, em que muitos termos se cancelam ao somar-se parcialmente.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{n(n+2)} \;=\;\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}.
Multiplicando por n(n+2), obtém-se
1 \;=\;A(n+2)+B\,n \;=\;(A+B)\,n+2A.
Comparando coeficientes de n e termo constante:
A+B=0, \qquad 2A=1 \;\Longrightarrow\; A=\frac12,\; B=-\frac12.

Passo 3

Substituindo na série, temos
\frac{1}{n(n+2)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr).
Definimos a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)} =\frac12\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr).

Passo 4

Ao expandir a soma telescópica, observa-se que quase todos os termos se cancelam:
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr) =\underbrace{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}}_{\text{restam no início}} \;-\;\underbrace{\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}}_{\text{restam no fim}}.í
Logo
S_{N} =\frac12\Bigl(1+\tfrac12-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\Bigr).

Passo 5

Para verificar a convergência, tomamos o limite quando N\to\infty. Como \tfrac{1}{N+1}\to0 e \tfrac{1}{N+2}\to0, obtemos
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac12\Bigl(1+\tfrac12\Bigr) =\frac12\cdot\frac{3}{2} =\frac{3}{4}.
Portanto, a série converge e sua soma é \tfrac{3}{4}.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{3}{4}.

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