Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{3^{2 n}}{2^{3 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{3^{2n}}{2^{3n+1}}
converge ou diverge. Vamos usar o reconhecimento de séries geométricas e o critério de convergência para elas.

Passo 2

Simplificamos o termo geral:
(-1)^{n-1}\frac{3^{2n}}{2^{3n+1}} = (-1)^{n-1}\frac{9^n}{2\cdot8^n} = \frac12\,(-1)^{n-1}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^n.
Isto é uma série geométrica de primeiro termo
a_1 = \frac12\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr) = \frac{9}{16}
e razão
r = -\frac{9}{8}.

Passo 3

Para que uma série geométrica \sum_{n=1}^\infty a_1\,r^{\,n-1} convirja, é necessário e suficiente que |r|<1. Aqui
|r| = \frac{9}{8} > 1,
logo a série não satisfaz o critério de convergência.

Resposta

A série diverge.

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