Usando seus conhecimentos sobre séries, expresse cada número abaixo como uma razão de inteiros.
0,307307307307 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número decimal periódico 0,307307307\ldots como uma razão de inteiros. O conteúdo aqui é a representação de decimais periódicos usando séries geométricas e a fórmula de soma de uma progressão geométrica infinita.

Passo 2

Observamos que o número pode ser escrito como soma infinita dos blocos “307” deslocados em potências de 10^3. Em notação de série:
0,307307307\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} 307 \times 10^{-3k}.

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma série geométrica de primeiro termo
a = 307 \times 10^{-3}
e razão
r = 10^{-3}.
A soma S de uma série geométrica infinita é dada por
S = \frac{a}{1-r}.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
S = \frac{307 \times 10^{-3}}{1 - 10^{-3}} = \frac{\tfrac{307}{1000}}{\tfrac{999}{1000}} = \frac{307}{999}.

Passo 5

Verificamos que \gcd(307,999)=1, portanto a fração já está na forma irredutível.

Resposta

\frac{307}{999}

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