Usando seus conhecimentos sobre séries, expresse cada número abaixo como uma razão de inteiros.
0,55555 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número periódico 0,55555\ldots como uma razão de inteiros. O conteúdo envolve séries geométricas infinitas e a fórmula da soma quando \lvert r\rvert<1:
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}.

Passo 2

Repare que
0,55555\ldots = 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \cdots
Isso é uma série geométrica cujo primeiro termo é
a = 0{,}5 = \tfrac{5}{10}
e a razão entre termos consecutivos é
r = \tfrac{1}{10}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert<1, a soma da série é
\sum_{k=1}^{\infty}5\cdot10^{-k} = \frac{a}{1-r} = \frac{\tfrac{5}{10}}{1 - \tfrac{1}{10}} = \frac{\tfrac{5}{10}}{\tfrac{9}{10}} = \frac{5}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{9}

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